練習18と練習19の問題を解きます。 練習18: $a, b$ は実数とするとき、次の条件の否定を述べよ。 (1) $a > 0$ かつ $b > 0$ (2) $a = 0$ または $b = 0$ 練習19: $a, b$ は実数とするとき、次の条件の否定を述べよ。 (1) $a, b$ の少なくとも一方は有理数である (2) $a, b$ はともに有理数である

1. 問題の内容

練習18と練習19の問題を解きます。

練習18: $a, b$ は実数とするとき、次の条件の否定を述べよ。

(1) $a > 0$ かつ $b > 0$

(2) $a = 0$ または $b = 0$

練習19: $a, b$ は実数とするとき、次の条件の否定を述べよ。

(1) $a, b$ の少なくとも一方は有理数である

(2) $a, b$ はともに有理数である

2. 解き方の手順

練習18

(1) 「$a > 0$ かつ $b > 0$」の否定は、「$a > 0$」の否定と「$b > 0$」の否定を「または」で結んだものになります。「$a > 0$」の否定は「$a \leq 0$」、「$b > 0$」の否定は「$b \leq 0$」なので、否定は「$a \leq 0$ または $b \leq 0$」となります。

(2) 「$a = 0$ または $b = 0$」の否定は、「$a = 0$」の否定と「$b = 0$」の否定を「かつ」で結んだものになります。「$a = 0$」の否定は「$a \neq 0$」、「$b = 0$」の否定は「$b \neq 0$」なので、否定は「$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$」となります。

練習19

(1) 「$a, b$ の少なくとも一方は有理数である」の否定は、「$a$ は有理数である」の否定と「$b$ は有理数である」の否定を「かつ」で結んだものになります。「$a$ は有理数である」の否定は「$a$ は無理数である」、「$b$ は有理数である」の否定は「$b$ は無理数である」なので、否定は「$a$ は無理数であり、かつ $b$ は無理数である」または「$a, b$ はともに無理数である」となります。

(2) 「$a, b$ はともに有理数である」の否定は、「$a$ は有理数である」の否定または「$b$ は有理数である」の否定となります。「$a$ は有理数である」の否定は「$a$ は無理数である」、「$b$ は有理数である」の否定は「$b$ は無理数である」なので、否定は「$a$ が無理数であるか、または $b$ が無理数である」となります。言い換えると「$a, b$ の少なくとも一方は無理数である」となります。

3. 最終的な答え

練習18

(1) $a \leq 0$ または $b \leq 0$

(2) $a \neq 0$ かつ $b \neq 0$

練習19

(1) $a, b$ はともに無理数である

(2) $a, b$ の少なくとも一方は無理数である