$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin\theta \cos\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin\theta \cos\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件式 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{4}$ の両辺を2乗します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{4})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{16}$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$1 + 2\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{16}$

$2\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{16} - 1$

$2\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{16} - \frac{16}{16}$

$2\sin\theta \cos\theta = -\frac{15}{16}$

両辺を2で割ると、$\sin\theta \cos\theta$ の値が得られます。

$\sin\theta \cos\theta = -\frac{15}{32}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta \cos\theta = -\frac{15}{32}$