B1の穴埋め問題を解く。具体的には、以下の小問に答える。 (1) $(a^2+a+2)(a^2-a+2)$ の展開式を求める。 (2) $y=-x^2+6x+a$ のグラフが点 $(1,4)$ を通るとき、$a$ の値と関数の最大値を求める。 (3) $\triangle ABC$ において $AB=8, AC=3, \angle BAC=60^\circ$ のとき、$\cos \angle BAC$ と $BC$ の値を求める。 (4) 7枚のカードから3枚を取り出すときの取り出し方と、取り出したカードの数の積が偶数となる確率を求める。 (5) 40人のテストの平均点が60点であったとき、2人の得点修正後の分散の変化を判断する。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

B1の穴埋め問題を解く。具体的には、以下の小問に答える。

(1) $(a^2+a+2)(a^2-a+2)$ の展開式を求める。

(2) $y=-x^2+6x+a$ のグラフが点 $(1,4)$ を通るとき、$a$ の値と関数の最大値を求める。

(3) $\triangle ABC$ において $AB=8, AC=3, \angle BAC=60^\circ$ のとき、$\cos \angle BAC$ と $BC$ の値を求める。

(4) 7枚のカードから3枚を取り出すときの取り出し方と、取り出したカードの数の積が偶数となる確率を求める。

(5) 40人のテストの平均点が60点であったとき、2人の得点修正後の分散の変化を判断する。

2. 解き方の手順

(1) 展開式

$(a^2+a+2)(a^2-a+2) = (a^2+2+a)(a^2+2-a) = (a^2+2)^2 - a^2 = a^4+4a^2+4-a^2 = a^4+3a^2+4$

(2) 2次関数

グラフが $(1,4)$ を通るので、$4 = -1^2 + 6(1) + a$。

$4 = -1+6+a$ より $a = -1$。

$y = -x^2 + 6x - 1 = -(x^2 - 6x) - 1 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 1 = -(x-3)^2 + 8$

よって最大値は $8$。

(3) 三角形

$\cos \angle BAC = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

余弦定理より $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos \angle BAC = 8^2 + 3^2 - 2(8)(3)(\frac{1}{2}) = 64+9-24 = 49$

$BC = \sqrt{49} = 7$

(4) 確率

取り出し方は全部で $_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

積が偶数になるのは、少なくとも1枚偶数のカードが含まれる場合。

積が奇数になるのは、3枚とも奇数のカードを取り出す場合。奇数のカードは1, 3, 5, 7の4枚なので、$_4C_3 = 4$ 通り。

積が偶数になるのは $35 - 4 = 31$ 通り。

確率は $\frac{31}{35}$。

(5) 分散

花子さんの得点は1点増え、太郎さんの得点は1点減っているので、合計点は変わらず、平均点も変わらない。

分散は各データと平均との差の二乗の平均である。花子さんの得点は平均から遠ざかり、太郎さんの得点は平均に近づく。

花子さんの修正前後の二乗の差は $(89-60)^2 = 29^2 = 841$、$(90-60)^2 = 30^2 = 900$。差は$900-841=59$。

太郎さんの修正前後の二乗の差は $(70-60)^2 = 10^2 = 100$、$(69-60)^2 = 9^2 = 81$。差は$100-81=19$。

全体では $59-19=40$だけ、二乗和が増えるので、分散は大きくなる。

したがって、分散は大きくなる。

3. 最終的な答え

(1) $a^4+3a^2+4$

(2) $a=-1$, 最大値は $8$

(3) $\cos \angle BAC = \frac{1}{2}$, $BC=7$

(4) $35$通り, $\frac{31}{35}$

(5) 1