$a, b$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 (1) $a > b \implies a - b > 0$ (2) $a = 0 \implies ab = 0$

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。

(1) $a > b \implies a - b > 0$

(2) $a = 0 \implies ab = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a > b \implies a - b > 0$

* 元の命題: $a > b \implies a - b > 0$

これは真である。なぜなら、$a > b$ ならば、$a - b$ は正の数になるから。

* 逆: $a - b > 0 \implies a > b$

これは真である。なぜなら、$a - b > 0$ ならば、$a > b$ となるから。

* 対偶: $a - b \le 0 \implies a \le b$

これは真である。なぜなら、元の命題が真であるとき、その対偶も真であるから。または、$a - b \le 0$ ならば $a \le b$ だから。

* 裏: $a \le b \implies a - b \le 0$

これは真である。なぜなら、$a \le b$ ならば、$a - b$ は0または負の数になるから。

(2) $a = 0 \implies ab = 0$

* 元の命題: $a = 0 \implies ab = 0$

これは真である。なぜなら、0に何を掛けても0になるから。

* 逆: $ab = 0 \implies a = 0$

これは偽である。なぜなら、$ab = 0$ であっても、$b = 0$ かもしれないから。反例として、$a = 1, b = 0$ が挙げられる。このとき $ab = 1 \times 0 = 0$ だが、$a = 1 \ne 0$ である。

* 対偶: $ab \ne 0 \implies a \ne 0$

これは真である。なぜなら、元の命題が真であるとき、その対偶も真であるから。 または、$ab \ne 0$ ならば、$a$ と $b$ のどちらも0ではない。

* 裏: $a \ne 0 \implies ab \ne 0$

これは偽である。なぜなら、$a \ne 0$ であっても、$b = 0$ ならば $ab = 0$ となるから。反例として、$a = 1, b = 0$ が挙げられる。このとき $a \ne 0$ だが、$ab = 1 \times 0 = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真

(2)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽