与えられた4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の2つの問題を解きます。 (1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ の値を求めます。 (2) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の2つの問題を解きます。

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ の値を求めます。

(2) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を求める。

まず、行列式を計算しやすいように行基本変形を行います。

1行目を2倍して2行目に足し、1行目を-2倍して3行目に足し、1行目を加えて4行目に足す。

$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 4 & -4 \end{vmatrix}$

3行目を-3で割ると、

$= -3 \times -4 \times 2 \times 1 \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 4 & -4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 4 & -4 \end{vmatrix}$

3行目を-6倍して4行目に加える

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & -4 \end{vmatrix}$

第1列について展開する

$= 3 \times \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -4 \end{vmatrix} - 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -4 \end{vmatrix}$

$= 3 [2(2 \times (-4) - 0) - 5(1 \times (-4) - 0) + 1(1 \times (-8) - 0)] - 4[-1(2 \times (-4) - 0) - 2(1 \times (-4) - 0) + 1(1 \times (-8) - 0)]$

$= 3 [2(-8) - 5(-4) + 1(-8)] - 4[-1(-8) - 2(-4) + 1(-8)]$

$= 3 [-16 + 20 - 8] - 4[8 + 8 - 8]$

$= 3 [-4] - 4 [8]$

$= -12 - 32 = -44$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求める。

$A^{-1}$ の (3,4) 成分は、$\frac{1}{|A|} (-1)^{3+4} C_{4,3}$ で与えられます。ここで、$C_{4,3}$ は行列 $A$ から4行と3列を取り除いた小行列の行列式です。

$C_{4,3} = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix} = 3(4 \times 2 - (-1) \times (-5)) - (-1)(-2 \times 2 - (-1) \times 6) + 1(-2 \times (-5) - 4 \times 6)$

$= 3(8-5) + 1(-4 + 6) + (10 - 24) = 3(3) + 1(2) + (-14) = 9 + 2 - 14 = -3$

したがって、$A^{-1}$ の (3,4) 成分は、

$\frac{1}{|A|} (-1)^{3+4} C_{4,3} = \frac{1}{-44} (-1)^{7} (-3) = \frac{1}{-44} (-1)(-3) = \frac{3}{-44} = -\frac{3}{44}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = -44$

(2) $A^{-1}$ の (3,4) 成分は $-\frac{3}{44}$