放物線 $y = 2x^2 + x + 3$ を平行移動した放物線が、点 $(1, 5)$ と $(0, 6)$ を通る時、その放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + x + 3$ を平行移動した放物線が、点 $(1, 5)$ と $(0, 6)$ を通る時、その放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動後の放物線の方程式を $y = 2(x-p)^2 + (x-p) + 3 + q$ とする。ここで、$p$ は $x$ 軸方向の移動量、$q$ は $y$ 軸方向の移動量を表す。この放物線が点 $(1, 5)$ と $(0, 6)$ を通るので、それぞれ代入して $p$ と $q$ を求める。

まず、点 $(1, 5)$ を代入する。

$5 = 2(1-p)^2 + (1-p) + 3 + q$

$5 = 2(1 - 2p + p^2) + 1 - p + 3 + q$

$5 = 2 - 4p + 2p^2 + 1 - p + 3 + q$

$5 = 2p^2 - 5p + 6 + q$

$2p^2 - 5p + 1 + q = 0$ ...(1)

次に、点 $(0, 6)$ を代入する。

$6 = 2(0-p)^2 + (0-p) + 3 + q$

$6 = 2p^2 - p + 3 + q$

$2p^2 - p - 3 + q = 0$ ...(2)

(1) 式と (2) 式の差を計算する。

$(2p^2 - 5p + 1 + q) - (2p^2 - p - 3 + q) = 0 - 0$

$-4p + 4 = 0$

$-4p = -4$

$p = 1$

$p = 1$ を (2) 式に代入する。

$2(1)^2 - 1 - 3 + q = 0$

$2 - 1 - 3 + q = 0$

$-2 + q = 0$

$q = 2$

よって、平行移動後の放物線の方程式は

$y = 2(x-1)^2 + (x-1) + 3 + 2$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + x - 1 + 5$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + x + 4$

$y = 2x^2 - 3x + 6$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 3x + 6$