直線 $y = 2x + k$ が放物線 $y = 3x - x^2$ と異なる2点P, Qで交わるとする。 (1) 定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 線分PQの中点Mの座標を $k$ で表す。 (3) $k$ の値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + k$ が放物線 $y = 3x - x^2$ と異なる2点P, Qで交わるとする。

(1) 定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 線分PQの中点Mの座標を $k$ で表す。

(3) $k$ の値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線と放物線の交点の $x$ 座標を求めるために、2つの式を連立させる。

$2x + k = 3x - x^2$

$x^2 - x + k = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が正であることである。

$D = (-1)^2 - 4(1)(k) = 1 - 4k$

$1 - 4k > 0$ より、

$4k < 1$

$k < \frac{1}{4}$

(2) 2次方程式 $x^2 - x + k = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 1$

$\alpha\beta = k$

線分PQの中点Mの $x$ 座標は $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{2}$

線分PQの中点Mの $y$ 座標は $2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2} + k = 2 \cdot \frac{1}{2} + k = 1 + k$

したがって、中点Mの座標は $(\frac{1}{2}, 1 + k)$

(3) 中点Mの座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{1}{2}$

$y = 1 + k$

$k = y - 1$

(1)より、$k < \frac{1}{4}$ なので、

$y - 1 < \frac{1}{4}$

$y < \frac{5}{4}$

したがって、中点Mの軌跡は、直線 $x = \frac{1}{2}$ の $y < \frac{5}{4}$ の部分である。

3. 最終的な答え

(1) $k < \frac{1}{4}$

(2) $(\frac{1}{2}, 1 + k)$

(3) 直線 $x = \frac{1}{2}$ の $y < \frac{5}{4}$ の部分