$n$ を3以上の自然数とします。$n$個のサイコロを同時に振り、出た目すべての積が $x$ の倍数となる確率を $P_x$ と表します。このとき、以下の確率を求めます。 (1) $P_2$ (2) $P_6$ (3) $P_{25}$ (4) $P_{50}$

1. 問題の内容

$n$ を3以上の自然数とします。$n$個のサイコロを同時に振り、出た目すべての積が $x$ の倍数となる確率を $P_x$ と表します。このとき、以下の確率を求めます。

(1) $P_2$

(2) $P_6$

(3) $P_{25}$

(4) $P_{50}$

2. 解き方の手順

(1) $P_2$ について

$P_2$ は、出た目の積が2の倍数となる確率です。これは、少なくとも1つ以上のサイコロの目が偶数であれば良いことを意味します。したがって、すべてのサイコロの目が奇数になる確率を1から引けばよいです。サイコロの目が奇数である確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。したがって、すべてのサイコロの目が奇数である確率は $(\frac{1}{2})^n$ です。

よって、$P_2 = 1 - (\frac{1}{2})^n$。

(2) $P_6$ について

$P_6$ は、出た目の積が6の倍数となる確率です。6の倍数であるためには、2の倍数かつ3の倍数である必要があります。2の倍数となる確率は $P_2$ で求めた通りです。3の倍数となる確率を計算します。3の倍数でない確率を計算する方が簡単です。サイコロの目が3の倍数でない確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。したがって、すべてのサイコロの目が3の倍数でない確率は $(\frac{2}{3})^n$ です。よって、3の倍数となる確率は $1 - (\frac{2}{3})^n$ です。

しかし、2の倍数になる事象と3の倍数になる事象は独立ではないため、積で計算することはできません。

余事象を考えることで計算します。積が6の倍数でないのは、積が2の倍数でないか、3の倍数でないか、またはその両方です。積が2の倍数でない確率は $(\frac{1}{2})^n$ であり、積が3の倍数でない確率は $(\frac{2}{3})^n$ です。両方とも満たす確率は、すべての目が奇数かつ3の倍数でない場合であり、サイコロの目が1か5の場合なので、$(\frac{2}{6})^n = (\frac{1}{3})^n$ です。したがって、積が6の倍数でない確率は $(\frac{1}{2})^n + (\frac{2}{3})^n - (\frac{1}{3})^n$ です。

よって、$P_6 = 1 - ((\frac{1}{2})^n + (\frac{2}{3})^n - (\frac{1}{3})^n)$。

(3) $P_{25}$ について

$P_{25}$ は、出た目の積が25の倍数となる確率です。25の倍数であるためには、積の中に少なくとも2つの5が含まれていなければなりません。

全体から、5が0個の場合と5が1個の場合を引きます。

5が出ない確率は $(\frac{5}{6})^n$ です。

5が1つだけ出る確率は、$n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1}$ です。

したがって、$P_{25} = 1 - (\frac{5}{6})^n - n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1}$。

(4) $P_{50}$ について

$P_{50}$ は、出た目の積が50の倍数となる確率です。50は $2 \times 5^2$ なので、積の中に2の倍数と5が2つ以上含まれていなければなりません。

これは、$P_{25}$ を求めるよりも複雑です。余事象を考えた方が簡単そうです。

積が50の倍数でない場合は、以下のいずれかです。

- 2の倍数でない（すべて奇数）：$(\frac{1}{2})^n$

- 5が2つ以上含まれていない：$(\frac{5}{6})^n + n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1}$ （5が0個か1個）

- 2の倍数でなく、かつ5が2つ以上含まれていない：

- 5が0個で全て奇数：$(\frac{2}{6})^n = (\frac{1}{3})^n$

- 5が1個で他は奇数：$n (\frac{1}{6}) (\frac{2}{6})^{n-1} = n (\frac{1}{6}) (\frac{1}{3})^{n-1}$

よって、積が50の倍数でない確率は $(\frac{1}{2})^n + (\frac{5}{6})^n + n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1} - (\frac{1}{3})^n - n (\frac{1}{6}) (\frac{1}{3})^{n-1}$。

したがって、$P_{50} = 1 - ((\frac{1}{2})^n + (\frac{5}{6})^n + n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1} - (\frac{1}{3})^n - n (\frac{1}{6}) (\frac{1}{3})^{n-1})$。

3. 最終的な答え

(1) $P_2 = 1 - (\frac{1}{2})^n$

(2) $P_6 = 1 - ((\frac{1}{2})^n + (\frac{2}{3})^n - (\frac{1}{3})^n)$

(3) $P_{25} = 1 - (\frac{5}{6})^n - n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1}$

(4) $P_{50} = 1 - ((\frac{1}{2})^n + (\frac{5}{6})^n + n (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{n-1} - (\frac{1}{3})^n - n (\frac{1}{6}) (\frac{1}{3})^{n-1})$