6人の生徒の国語の成績 $x$ と数学の成績 $y$ が与えられた表に基づき、以下の問いに答えます。 (1) 変量 $x$ の分散 $S_x^2$ と変量 $y$ の分散 $S_y^2$ を求めます。 (2) 変量 $x$ と $y$ の共分散 $S_{xy}$ を求めます。 (3) 変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めます。 (4) 相関係数 $r$ の結果から、$x$ と $y$ の相関関係を判断します。

1. 問題の内容

6人の生徒の国語の成績 $x$ と数学の成績 $y$ が与えられた表に基づき、以下の問いに答えます。

(1) 変量 $x$ の分散 $S_x^2$ と変量 $y$ の分散 $S_y^2$ を求めます。

(2) 変量 $x$ と $y$ の共分散 $S_{xy}$ を求めます。

(3) 変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めます。

(4) 相関係数 $r$ の結果から、$x$ と $y$ の相関関係を判断します。

2. 解き方の手順

(1) 分散の計算

まず、$x$ と $y$ の平均を求めます。

$\bar{x} = (6+3+4+5+2+4)/6 = 24/6 = 4$

$\bar{y} = (2+6+6+4+10+8)/6 = 36/6 = 6$

次に、$x$ の分散 $S_x^2$ を求めます。

$S_x^2 = \frac{1}{6}((6-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (2-4)^2 + (4-4)^2)$

$S_x^2 = \frac{1}{6}(4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0) = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$y$ の分散 $S_y^2$ を求めます。

$S_y^2 = \frac{1}{6}((2-6)^2 + (6-6)^2 + (6-6)^2 + (4-6)^2 + (10-6)^2 + (8-6)^2)$

$S_y^2 = \frac{1}{6}(16 + 0 + 0 + 4 + 16 + 4) = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$

(2) 共分散の計算

共分散 $S_{xy}$ を求めます。

$S_{xy} = \frac{1}{6}((6-4)(2-6) + (3-4)(6-6) + (4-4)(6-6) + (5-4)(4-6) + (2-4)(10-6) + (4-4)(8-6))$

$S_{xy} = \frac{1}{6}((2)(-4) + (-1)(0) + (0)(0) + (1)(-2) + (-2)(4) + (0)(2))$

$S_{xy} = \frac{1}{6}(-8 + 0 + 0 - 2 - 8 + 0) = \frac{-18}{6} = -3$

(3) 相関係数の計算

相関係数 $r$ を求めます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x^2}\sqrt{S_y^2}} = \frac{-3}{\sqrt{\frac{5}{3}}\sqrt{\frac{20}{3}}} = \frac{-3}{\sqrt{\frac{100}{9}}} = \frac{-3}{\frac{10}{3}} = \frac{-9}{10} = -0.9$

(4) 相関の判断

相関係数 $r = -0.9$ は $-1$ に近いので、強い負の相関関係があると考えられます。

3. 最終的な答え

(1) $S_x^2 = \frac{5}{3}$, $S_y^2 = \frac{20}{3}$

(2) $S_{xy} = -3$

(3) $r = -\frac{9}{10}$

(4) ③