Y大学で$4n$人の学生が数学を受験しました。$3n$人の学生が$a$点、$n$人の学生が$b$点を取ったとき、得点の分散を求めなさい。ただし、答えの形式は $\frac{4}{56}(b-a)^7$ で与えられているため、箱の中に入る数値を求めます。

1. 問題の内容

Y大学で$4n$人の学生が数学を受験しました。$3n$人の学生が$a$点、$n$人の学生が$b$点を取ったとき、得点の分散を求めなさい。ただし、答えの形式は $\frac{4}{56}(b-a)^7$ で与えられているため、箱の中に入る数値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、平均値を計算します。平均値を$\bar{x}$とすると、

$\bar{x} = \frac{3n \cdot a + n \cdot b}{4n} = \frac{3a + b}{4}$

次に、分散を計算します。分散$V$は、各データの二乗と平均との差の合計をデータ数で割ったものです。

$V = \frac{1}{4n} \sum_{i=1}^{4n} (x_i - \bar{x})^2$

この場合、

$V = \frac{1}{4n} [3n(a - \frac{3a+b}{4})^2 + n(b - \frac{3a+b}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(a - \frac{3a+b}{4})^2 + (b - \frac{3a+b}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(\frac{4a-3a-b}{4})^2 + (\frac{4b-3a-b}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(\frac{a-b}{4})^2 + (\frac{3b-3a}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3\frac{(a-b)^2}{16} + \frac{9(b-a)^2}{16}]$

$V = \frac{1}{4} [\frac{3(b-a)^2}{16} + \frac{9(b-a)^2}{16}]$

$V = \frac{1}{4} [\frac{12(b-a)^2}{16}]$

$V = \frac{1}{4} [\frac{3(b-a)^2}{4}]$

$V = \frac{3}{16} (b-a)^2$

与えられた形式は $\frac{4}{56}(b-a)^7$なので、$V = \frac{3}{16} (b-a)^2$ と比較します。

$\frac{3}{16} (b-a)^2 = \frac{x}{y} (b-a)^z$

与えられた答えの形式$\frac{4}{56} (b-a)^7$に合わせて考えると、計算間違いがある可能性を考慮して、問題文の方を再確認します。

問題文は正しいものとして、与えられた形式の$\frac{4}{56}(b-a)^7$の7を2と読み間違えていると仮定すると、

$\frac{3}{16} (b-a)^2 = \frac{x}{y} (b-a)^2$

$x = 3$

$y = 16$

ただし、形式が $\frac{4}{56}(b-a)^7$になっているので、$\frac{3}{16} (b-a)^2 = \frac{4}{56}(b-a)^x$の形に無理やり変形させて考えます。

分散: $\frac{3}{16}(b-a)^2$

問題文にある数字は、4,5,6,7

答えの形式: $\frac{4}{56} (b-a)^7$

$\frac{4}{56} = \frac{1}{14}$

したがって、$\frac{3}{16}$という係数と合うように調整しても無駄なので、問題の形式に沿う答え方はできない。

しかし、問題の形式は $\frac{4}{56} (b-a)^7$となっている。

このうち、5, 6, 7を数字として答える問題なので、正答は存在しない。

問題の形式が間違っているか、問題文の写し間違いである。

3. 最終的な答え

問題の形式に沿う答えは存在しない。