問題は以下の3つのパートに分かれています。 (1) 7人（生徒4人、先生3人）が1列に並ぶときの並び方の数を求める問題が4つあります。 (1) 生徒4人が隣り合う並び方 (2) 先生3人が隣り合わない並び方 (3) 生徒2人と先生2人を選ぶ選び方 (4) 3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方 (2) A地点からB地点への最短経路の問題が2つあります。 (1) 最短経路の数 (2) P地点を通る最短経路の数 (3) 1から5までの数字が書かれたカードが各数字3枚ずつ、計15枚あるとき、2枚のカードを同時に引く確率を求める問題が2つあります。 (1) 1枚だけ奇数である確率 (2) 少なくとも1枚が奇数である確率

1. 問題の内容

問題は以下の3つのパートに分かれています。

(1) 7人（生徒4人、先生3人）が1列に並ぶときの並び方の数を求める問題が4つあります。

(1) 生徒4人が隣り合う並び方

(2) 先生3人が隣り合わない並び方

(3) 生徒2人と先生2人を選ぶ選び方

(4) 3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方

(2) A地点からB地点への最短経路の問題が2つあります。

(1) 最短経路の数

(2) P地点を通る最短経路の数

(3) 1から5までの数字が書かれたカードが各数字3枚ずつ、計15枚あるとき、2枚のカードを同時に引く確率を求める問題が2つあります。

(1) 1枚だけ奇数である確率

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率

2. 解き方の手順

(1)

(1) 生徒4人をひとまとめにして考えると、4人+先生3人の合計4つのものの並び方なので $4!$ 通りあります。生徒4人の並び方は $4!$ 通りなので、生徒4人が隣り合う並び方は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通りです。

(2) まず生徒4人を並べます。その並び方の数は $4! = 24$ 通りです。次に、生徒の間または端の5箇所から3箇所を選び、先生を並べます。その選び方は ${}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。したがって、先生どうしが隣り合わない並び方は $24 \times 60 = 1440$ 通りです。

(3) 生徒4人から2人を選ぶ方法は ${}_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。先生3人から2人を選ぶ方法は ${}_{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通りです。したがって、生徒2人と先生2人を選ぶ選び方は $6 \times 3 = 18$ 通りです。

(4) 7人から3人を選ぶ総数は ${}_{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。生徒だけを選ぶ方法は ${}_{4}C_{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通りです。少なくとも1人が先生である選び方は、3人を選ぶ総数から生徒だけを選ぶ方法を引けばよいので、 $35 - 4 = 31$ 通りです。

(2)

(1) A地点からB地点への最短経路は、右に4回、上に3回進む必要があります。したがって、最短経路の数は ${}_{7}C_{4} = {}_{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。

(2) A地点からP地点への最短経路は、右に2回、上に1回進む必要があります。したがって、最短経路の数は ${}_{3}C_{2} = {}_{3}C_{1} = 3$ 通りです。P地点からB地点への最短経路は、右に2回、上に2回進む必要があります。したがって、最短経路の数は ${}_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。P地点を通る最短経路の数は $3 \times 6 = 18$ 通りです。

(3)

(1) 1から5までの数字が書かれたカードは、奇数（1, 3, 5）がそれぞれ3枚、偶数（2, 4）がそれぞれ3枚、合計15枚あります。

2枚のカードを引くとき、奇数が1枚、偶数が1枚となる確率を求めます。

奇数を1枚引く確率は $\frac{9}{15}$、偶数を1枚引く確率は $\frac{6}{14}$。奇数を先に引く場合と、偶数を先に引く場合があるので、

$\frac{9}{15} \times \frac{6}{14} + \frac{6}{15} \times \frac{9}{14} = \frac{54}{210} + \frac{54}{210} = \frac{108}{210} = \frac{18}{35}$

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は、2枚とも偶数である確率を1から引けばよい。

2枚とも偶数である確率は $\frac{6}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}$

したがって、少なくとも1枚が奇数である確率は $1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(1)

(1) 576

(2) 1440

(3) 18

(4) 31

(2)

(1) 35

(2) 18

(3)

(1) 18/35

(2) 6/7