生徒9人の英語と数学のテスト結果が表で与えられています。 (1) 生徒8の英語の得点A、英語の得点の分散B、英語と数学の得点の相関係数を求める。 (2) 9人の英語と数学の得点の散布図として適切なものを選択する。

1. 問題の内容

生徒9人の英語と数学のテスト結果が表で与えられています。

(1) 生徒8の英語の得点A、英語の得点の分散B、英語と数学の得点の相関係数を求める。

(2) 9人の英語と数学の得点の散布図として適切なものを選択する。

2. 解き方の手順

(1) まず、英語の平均点が14点であることから、Aの値を求めます。

$14 = (16+12+13+7+18+16+12+A+16)/9$

$14 \times 9 = 110 + A$

$126 = 110 + A$

$A = 16$

次に、英語の分散Bを求めます。分散は、各データと平均の差の二乗の平均です。

$B = \frac{1}{9} [(16-14)^2 + (12-14)^2 + (13-14)^2 + (7-14)^2 + (18-14)^2 + (16-14)^2 + (12-14)^2 + (16-14)^2 + (16-14)^2]$

$B = \frac{1}{9} [4 + 4 + 1 + 49 + 16 + 4 + 4 + 4 + 4] = \frac{1}{9} [90] = 10$

相関係数rを求めるには、共分散を英語と数学の標準偏差の積で割る必要があります。

まず、共分散を求めます。共分散は、各生徒の英語の偏差と数学の偏差の積の平均です。

$Cov(X,Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

$Cov(X,Y) = \frac{1}{9} [(16-14)(14-15) + (12-14)(8-15) + (13-14)(14-15) + (7-14)(15-15) + (18-14)(20-15) + (16-14)(18-15) + (12-14)(14-15) + (16-14)(15-15) + (16-14)(17-15)]$

$Cov(X,Y) = \frac{1}{9} [(2)(-1) + (-2)(-7) + (-1)(-1) + (-7)(0) + (4)(5) + (2)(3) + (-2)(-1) + (2)(0) + (2)(2)]$

$Cov(X,Y) = \frac{1}{9} [-2 + 14 + 1 + 0 + 20 + 6 + 2 + 0 + 4] = \frac{1}{9} [45] = 5$

英語の標準偏差は $\sqrt{10}$、数学の標準偏差は $\sqrt{10}$。

相関係数 $r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{5}{10} = 0.5$

(2) 英語と数学の散布図を考える。

英語の平均は14、数学の平均は15。相関係数は0.5なので、正の相関がある。

生徒の英語と数学の得点をプロットすると、

(16, 14), (12, 8), (13, 14), (7, 15), (18, 20), (16, 18), (12, 14), (16, 15), (16, 17)

グラフから散布図(1)が適切である。

3. 最終的な答え

(1) A = 16, B = 10, 相関係数 = 0.5

したがって、1: 16, 2: 10, 7: 0, 8: 5

(2) 11: (1)