関数 $y = ax^2$ のグラフが点 $(-4, 8)$ を通るとき、以下の3つの問いに答えます。 (1) $a$ の値を求めます。 (2) $x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合を求めます。 (3) $x$ の変域が $-3 \le x \le 8$ のときの $y$ の変域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ のグラフが点 $(-4, 8)$ を通るとき、以下の3つの問いに答えます。

(1) $a$ の値を求めます。

(2) $x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合を求めます。

(3) $x$ の変域が $-3 \le x \le 8$ のときの $y$ の変域を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(-4, 8)$ を関数 $y = ax^2$ に代入して $a$ の値を求めます。

$8 = a(-4)^2$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

(2) 変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。

$x$ が $2$ から $6$ まで増加するので、$x$ の増加量は $6 - 2 = 4$ です。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2}(4) = 2$ です。

$x = 6$ のとき、$y = \frac{1}{2}(6)^2 = \frac{1}{2}(36) = 18$ です。

$y$ の増加量は $18 - 2 = 16$ です。

変化の割合は $\frac{16}{4} = 4$ です。

(3) $x$ の変域が $-3 \le x \le 8$ のとき、$y = \frac{1}{2}x^2$ の変域を求めます。

$y = \frac{1}{2}x^2$ は下に凸のグラフなので、$x = 0$ のときに最小値をとります。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$ です。

$x = -3$ のとき、$y = \frac{1}{2}(-3)^2 = \frac{1}{2}(9) = \frac{9}{2} = 4.5$ です。

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{2}(8)^2 = \frac{1}{2}(64) = 32$ です。

よって、$y$ の最大値は $32$ です。

したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 32$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) 変化の割合: $4$

(3) $y$ の変域: $0 \le y \le 32$