(1) $(2x^2 + 3)^6$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める。 (2) $(a + b - 2c)^7$ の展開式における $a^2b^3c^2$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2x^2 + 3)^6$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める。

(2) $(a + b - 2c)^7$ の展開式における $a^2b^3c^2$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を利用する。$(2x^2 + 3)^6$ の一般項は、

$${}_6 C_r (2x^2)^r (3)^{6-r} = {}_6 C_r 2^r 3^{6-r} x^{2r}$$

$x^6$ の項になるのは $2r = 6$ のときなので、$r = 3$ である。

したがって、$x^6$ の項の係数は

$${}_6 C_3 \cdot 2^3 \cdot 3^{6-3} = \frac{6!}{3!3!} \cdot 8 \cdot 27 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot 27 = 20 \cdot 8 \cdot 27 = 160 \cdot 27 = 4320$$

(2) 多項定理を利用する。$(a + b - 2c)^7$ の一般項は、$p+q+r=7$ として、

$$\frac{7!}{p!q!r!} a^p b^q (-2c)^r = \frac{7!}{p!q!r!} (-2)^r a^p b^q c^r$$

$a^2b^3c^2$ の項になるのは $p=2$, $q=3$, $r=2$ のときである。このとき $p+q+r=2+3+2=7$ で条件を満たす。

したがって、$a^2b^3c^2$ の項の係数は

$$\frac{7!}{2!3!2!} (-2)^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 2} \cdot 4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 2 = 420 \cdot 2 = 840$$

したがって、$a^2b^3c^2$ の項の係数は $\frac{7!}{2!3!2!} (-2)^2 = 210 \cdot 4 = 840$.

3. 最終的な答え

(1) 4320

(2) 840