与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$ (2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ (3) $x^4 - 3x^2 - 4$ (4) $(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

(4) $(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、各項に共通する因子 $2x$ をくくり出します。

$2x(x^2 - 6xy + 9y^2)$

次に、$x^2 - 6xy + 9y^2$ が $(x - 3y)^2$ と因数分解できることに気づきます。

したがって、全体の式は $2x(x - 3y)^2$ となります。

(2)

$4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ を見やすくするために項を並べ替えます。

$(4x^2 - 4xy + y^2) - z^2$

$4x^2 - 4xy + y^2$ が $(2x - y)^2$ と因数分解できることに気づきます。

したがって、$(2x - y)^2 - z^2$ となります。

これは、差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用いて因数分解できます。

$(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3)

$x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解するために、$x^2 = t$ と置きます。

すると、$t^2 - 3t - 4$ となります。

これは、$(t - 4)(t + 1)$ と因数分解できます。

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$ となります。

$x^2 - 4$ は $(x - 2)(x + 2)$ と因数分解できるため、全体の式は $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$ となります。

(4)

$(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$ を因数分解するために、差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用います。

$((ac + bd) + (ad + bc))((ac + bd) - (ad + bc))$

$(ac + bd + ad + bc)(ac + bd - ad - bc)$

それぞれの括弧内で項を並べ替えます。

$(ac + ad + bc + bd)(ac - ad - bc + bd)$

それぞれの括弧内で共通因子をくくり出します。

$(a(c + d) + b(c + d))(a(c - d) - b(c - d))$

$(c + d)(a + b)(c - d)(a - b)$

$(a + b)(c + d)(a - b)(c - d)$

3. 最終的な答え

(1) $2x(x - 3y)^2$

(2) $(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

(4) $(a + b)(c + d)(a - b)(c - d)$