問題は2つの部分からなります。 (1) $(x^2 + 1)^2$ を展開すること。 (2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解すること。

1. 問題の内容

問題は2つの部分からなります。

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開すること。

(2) (1)の結果を利用して、$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解すること。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 1)^2$ を展開します。これは二項定理を使うか、単純に展開できます。

$(x^2 + 1)^2 = (x^2 + 1)(x^2 + 1) = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解します。

(1)の結果 $x^4 + 2x^2 + 1$ と与えられた式 $x^4 + x^2 + 1$ を比較します。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

これは、$x^4 + 2x^2 + 1$ から $x^2$ を引いたものと考えることができます。

(1)より、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ であるため、

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは平方の差の形 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ で、$a = x^2 + 1$, $b = x$ です。

したがって、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$