$4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

##

1. 問題の内容

与えられた6つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

##

2. 解き方の手順

**(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$**

1. 後ろの項を$-(y^2 - 2y + 1)$と変形する。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

2. $(y^2 - 2y + 1)$を因数分解すると$(y-1)^2$となる。

$4x^2 - (y - 1)^2$

3. $4x^2$を$(2x)^2$と変形し、二乗の差の形にする。

$(2x)^2 - (y - 1)^2$

4. 二乗の差の公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$を利用して因数分解する。

$(2x + (y - 1))(2x - (y - 1))$

5. 括弧を整理する。

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

**(2) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$**

1. $x^2 - x = A$ とおく。

$A^2 - 8A + 12$

2. $A$ についての二次式を因数分解する。

$(A - 2)(A - 6)$

3. $A$ を $x^2 - x$ に戻す。

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$

4. それぞれの括弧内をさらに因数分解する。

$(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

**(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$**

1. 共通因数でくくる。

$x^2(x + a) - (x^2 + a)$

2. 項の順番を入れ替える。

$x^3 - x^2 + ax^2 - a$

3. $x^2(x - 1) + a(x^2 - 1)$

4. $x^2(x - 1) + a(x - 1)(x + 1)$

5. $(x - 1)(x^2 + a(x + 1))$

6. $(x - 1)(x^2 + ax + a)$

**(4) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$**

1. $x$ について整理する。

$6x^2 + (7y+1)x + (2y^2 - 2)$

2. $2y^2 - 2$を因数分解する。

$2(y - 1)(y + 1)$

3. たすき掛けで因数分解を行う。

$(2x + (y + 2))(3x + (2y - 1))$

4. 括弧をはずす

$(2x + y + 2)(3x + 2y - 1)$

**(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$**

1. $x$ について整理する。

$3x^2 + (2y + 7)x + (-y^2 + 3y + 4)$

2. $-y^2 + 3y + 4$ を因数分解する。

$-(y^2 - 3y - 4) = -(y - 4)(y + 1) = (4-y)(y+1)$

3. たすき掛けで因数分解を行う。

$(x + (y + 1))(3x + (-y + 4))$

4. 括弧をはずす。

$(x + y + 1)(3x - y + 4)$

**(6) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$**

1. 展開する。

$a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

2. 整理する。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 2abc$

3. $a$ について整理する。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

4. $(b^2 + 2bc + c^2)$ を因数分解する。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b + c)$

5. 共通因数 $(b+c)$ でくくる。

$(b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

6. 括弧内を因数分解する。

$(b+c)(a+b)(a+c)$

7. 並び替える

$(a+b)(b+c)(c+a)$

##

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(2) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

(3) $(x - 1)(x^2 + ax + a)$

(4) $(2x + y + 2)(3x + 2y - 1)$

(5) $(x + y + 1)(3x - y + 4)$

(6) $(a+b)(b+c)(c+a)$