媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか調べ、図示する。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか調べ、図示する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の関係式を求めるために、$t$ を消去することを試みます。

$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2$ を計算してみます。

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x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2

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= \frac{(1-t^2)^2 + (2t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{1 + 2t^2 + t^4} = \frac{1 + 2t^2 + t^4}{1 + 2t^2 + t^4} = 1

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したがって、$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1$ となります。

これは、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ と書き換えられます。

これは、$x$ 軸方向に半径 1、$y$ 軸方向に半径 2 の楕円を表します。

$t$ がすべての実数を動く時、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ は $-1 \leq x < 1$ を満たします。一方、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ はすべての実数をとります。

$x=-1$ となるのは、$t \to \infty$ または $t \to -\infty$ のときです。

$x=1$ となるのは、$t = 0$ のときで、$y=0$ になります。

したがって、この曲線は、$x$ 軸方向に半径 1、$y$ 軸方向に半径 2 の楕円で、$(-1, 0)$ を除く曲線です。

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円。 ただし、$(-1,0)$を除く。