媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線になるかを求め、図示する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線になるかを求め、図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $t$ を消去することを考えます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、 $y = \frac{4t}{1+t^2}$

$x^2 + y^2$ を計算してみます。

$x^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

このままでは $t$ が消去できないので、別の方法を試します。

$y/x$ を計算します。

$\frac{y}{x} = \frac{\frac{4t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{4t}{1-t^2}$

$t$ の値を決めて、$x$ と $y$ の値を計算し、グラフを描画する方法も考えられますが、まずは $x$ と $y$ の関係式を求めることを目指します。

$x^2 + y^2 = \frac{(1-t^2)^2 + (4t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$x^2+y^2 -1 = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2 - (1+t^2)^2 }{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2 - (1+ 2t^2 + t^4)}{(1+t^2)^2} = \frac{12t^2}{(1+t^2)^2}$

ここで、$x^2 + y^2$ を計算し直します。

$x^2+y^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 + (\frac{4t}{1+t^2})^2 = \frac{(1-t^2)^2+(4t)^2}{(1+t^2)^2}= \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+14t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$

式をよく見ると、$y = 4t/(1+t^2)$ より $yt^2 - 4t + y = 0$ が得られます。

$t$ は実数なので、この $t$ についての二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D = (-4)^2 - 4(y)(y) \ge 0$, $16 - 4y^2 \ge 0$, $4 \ge y^2$, $-2 \le y \le 2$

また、$x(1+t^2)=1-t^2$ から $xt^2+t^2=1-x$, つまり $t^2(x+1)=1-x$ なので、$t^2 = \frac{1-x}{1+x}$.

$y = \frac{4t}{1+t^2}$ に代入すると、 $y = \pm \frac{4 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}{1 + \frac{1-x}{1+x}} = \pm \frac{4 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}{\frac{2+x+1-x}{1+x}} = \pm 2 \sqrt{1-x^2}$

$y^2 = 4(1-x^2) = 4 - 4x^2$, $y^2 + 4x^2 = 4$ よって、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$. これは楕円です。

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円です。