媒介変数 $t$ を用いて、$x$ と $y$ がそれぞれ $t$ の関数として与えられているとき、これらの式が $xy$ 平面上にどのような曲線を描くか求め、図示する問題です。 与えられた式は次のとおりです。 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ $y = \frac{4t}{1+t^2}$

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x$ と $y$ がそれぞれ $t$ の関数として与えられているとき、これらの式が $xy$ 平面上にどのような曲線を描くか求め、図示する問題です。

与えられた式は次のとおりです。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ の式から $t$ を消去して、$x$ と $y$ の関係式を導き出すことを目指します。

まず、$x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = (\frac{4t}{1+t^2})^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} + \frac{16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

この式では、$t$を消去することが難しいです。

別の方法として、$t$ をパラメータとしていくつかの値を代入し、$x,y$ の組を計算して、$xy$ 平面にプロットしてみるという方法があります。

$t=0$ のとき、$x = \frac{1-0}{1+0} = 1$、$y = \frac{4(0)}{1+0} = 0$。点$(1,0)$

$t=1$ のとき、$x = \frac{1-1}{1+1} = 0$、$y = \frac{4(1)}{1+1} = 2$。点$(0,2)$

$t=-1$ のとき、$x = \frac{1-1}{1+1} = 0$、$y = \frac{4(-1)}{1+1} = -2$。点$(0,-2)$

$t=2$ のとき、$x = \frac{1-4}{1+4} = -\frac{3}{5}$、$y = \frac{4(2)}{1+4} = \frac{8}{5}$。点$(-\frac{3}{5},\frac{8}{5})$

$t=-2$ のとき、$x = \frac{1-4}{1+4} = -\frac{3}{5}$、$y = \frac{4(-2)}{1+4} = -\frac{8}{5}$。点$(-\frac{3}{5},-\frac{8}{5})$

これらの点をプロットすると、円の一部であることが予想されます。

$x^2+y^2 = \frac{(1-t^2)^2 + (4t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{1 + 2t^2 + t^4}$

この式をさらに変形して

$(x^2 + y^2)(1+t^2)^2 = (1-t^2)^2 + (4t)^2 = 1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2 = 1 + 14t^2 + t^4$

$t = \frac{y}{4x}$ を $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ に代入して整理していくことで、$x$ と $y$ の関係式を求めることができます。

$x = \frac{1-(\frac{y}{4x})^2}{1+(\frac{y}{4x})^2} = \frac{1 - \frac{y^2}{16x^2}}{1 + \frac{y^2}{16x^2}} = \frac{16x^2 - y^2}{16x^2 + y^2}$

$x(16x^2 + y^2) = 16x^2 - y^2$

$16x^3 + xy^2 = 16x^2 - y^2$

$16x^3 - 16x^2 + xy^2 + y^2 = 0$

$16x^2(x-1) + y^2(x+1) = 0$

$y^2 = -16x^2 \frac{x-1}{x+1}$

与えられた式から、$(x-1)^2 + y^2 = 4$ となることが導けます。ただし、$x \ne -1$.

3. 最終的な答え

中心が $(1, 0)$ で半径が $2$ の円（ただし、$(-1, 0)$ を除く）。