袋Aには1から10までの番号が書かれたカードが1枚ずつ、計10枚入っています。袋Bには1から20までの番号が書かれたカードが1枚ずつ、計20枚入っています。それぞれの袋からカードを1枚ずつ取り出したとき、袋Aから取り出したカードの番号を$X$、袋Bから取り出したカードの番号を$Y$とします。このとき、$X+Y$の期待値を求めます。

1. 問題の内容

袋Aには1から10までの番号が書かれたカードが1枚ずつ、計10枚入っています。袋Bには1から20までの番号が書かれたカードが1枚ずつ、計20枚入っています。それぞれの袋からカードを1枚ずつ取り出したとき、袋Aから取り出したカードの番号を$X$、袋Bから取り出したカードの番号を$Y$とします。このとき、$X+Y$の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

$X$の期待値$E(X)$と$Y$の期待値$E(Y)$をそれぞれ計算し、$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$を用いて$X+Y$の期待値を求めます。

$X$は1から10までの整数値を等確率でとるので、$X$の期待値は、

$$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10} = \frac{55}{10} = 5.5$$

$Y$は1から20までの整数値を等確率でとるので、$Y$の期待値は、

$$E(Y) = \frac{1+2+3+...+20}{20} = \frac{\frac{20 \times 21}{2}}{20} = \frac{20 \times 21}{2 \times 20} = \frac{21}{2} = 10.5$$

したがって、$X+Y$の期待値は、

$$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 5.5 + 10.5 = 16$$

3. 最終的な答え

16