AからEの5人がゲームに参加し、各人の得点に関する情報が与えられています。Aの得点からEの得点を引いた値を求める問題です。ただし、得点は正の整数です。 Bの得点はAの得点の$\frac{1}{5}$、Cの得点はAの得点の$\frac{3}{8}$、Dの得点はAの得点の$\frac{5}{4}$、Eの得点はB、C、Dの得点の合計から11を引いたものの$\frac{1}{3}$と与えられています。

1. 問題の内容

AからEの5人がゲームに参加し、各人の得点に関する情報が与えられています。Aの得点からEの得点を引いた値を求める問題です。ただし、得点は正の整数です。

Bの得点はAの得点の$\frac{1}{5}$、Cの得点はAの得点の$\frac{3}{8}$、Dの得点はAの得点の$\frac{5}{4}$、Eの得点はB、C、Dの得点の合計から11を引いたものの$\frac{1}{3}$と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、Aの得点を$a$とします。

B、C、D、Eの得点をそれぞれ$a$で表します。

Bの得点: $b = \frac{1}{5}a$

Cの得点: $c = \frac{3}{8}a$

Dの得点: $d = \frac{5}{4}a$

Eの得点: $e = \frac{1}{3}(b + c + d - 11)$

$b, c, d$を代入して、$e$を$a$で表します。

$e = \frac{1}{3}(\frac{1}{5}a + \frac{3}{8}a + \frac{5}{4}a - 11)$

$e = \frac{1}{3}(\frac{8}{40}a + \frac{15}{40}a + \frac{50}{40}a - 11)$

$e = \frac{1}{3}(\frac{73}{40}a - 11)$

A, B, C, D, Eの得点は正の整数なので、$a$も整数です。また、各人の得点は最大100点なので、$a \le 100$です。さらに、$b, c, d$も整数なので、$a$は5の倍数であり、かつ8の倍数であり、かつ4の倍数なので、$a$は40の倍数です。

したがって、$a$は40, 80のどちらかの値を取ります。

$a = 40$のとき:

$b = \frac{1}{5} \times 40 = 8$

$c = \frac{3}{8} \times 40 = 15$

$d = \frac{5}{4} \times 40 = 50$

$e = \frac{1}{3}(8 + 15 + 50 - 11) = \frac{1}{3}(62) = \frac{62}{3}$

これは整数ではないので、$a=40$は不適です。

$a = 80$のとき:

$b = \frac{1}{5} \times 80 = 16$

$c = \frac{3}{8} \times 80 = 30$

$d = \frac{5}{4} \times 80 = 100$

$e = \frac{1}{3}(16 + 30 + 100 - 11) = \frac{1}{3}(135) = 45$

このとき、$e$は整数であり、$a - e = 80 - 45 = 35$となります。

3. 最終的な答え

35点