与えられた連立不等式 $x - y + 1 \ge 0$ $3x + y + 2 \ge 0$ $5x - y - 6 \le 0$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$x - y + 1 \ge 0$

$3x + y + 2 \ge 0$

$5x - y - 6 \le 0$

を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立不等式を図示します。

$x - y + 1 \ge 0 \Rightarrow y \le x + 1$

$3x + y + 2 \ge 0 \Rightarrow y \ge -3x - 2$

$5x - y - 6 \le 0 \Rightarrow y \ge 5x - 6$

これらの不等式が表す領域は、これらの直線で囲まれた領域です。

次に、これらの直線の交点を求めます。

(1) $y = x + 1$ と $y = -3x - 2$ の交点

$x + 1 = -3x - 2$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$

$y = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}$

交点は $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4})$

(2) $y = x + 1$ と $y = 5x - 6$ の交点

$x + 1 = 5x - 6$

$4x = 7$

$x = \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{4} + 1 = \frac{11}{4}$

交点は $(\frac{7}{4}, \frac{11}{4})$

(3) $y = -3x - 2$ と $y = 5x - 6$ の交点

$-3x - 2 = 5x - 6$

$8x = 4$

$x = \frac{1}{2}$

$y = -3(\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}$

交点は $(\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})$

これらの交点を頂点とする領域内で、$2x + y$ が最大値と最小値をとります。

$k = 2x + y$ とおくと、$y = -2x + k$ となります。

この直線が領域と共有点を持つように、$k$ の最大値と最小値を求めます。

各頂点における $2x + y$ の値を計算します。

$(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4})$ : $2(-\frac{3}{4}) + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$

$(\frac{7}{4}, \frac{11}{4})$ : $2(\frac{7}{4}) + \frac{11}{4} = \frac{14}{4} + \frac{11}{4} = \frac{25}{4}$

$(\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})$ : $2(\frac{1}{2}) - \frac{7}{2} = 1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$

したがって、最大値は $\frac{25}{4}$ 、最小値は $-\frac{5}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{25}{4}$

最小値: $-\frac{5}{2}$