与えられた10個の式を展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の式を展開する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(x+y+5)(x+y-5)$

$x+y = A$ と置くと、与式は $(A+5)(A-5)$ となります。これは和と差の積の形なので、$A^2 - 5^2 = A^2 - 25$ となります。ここで、$A$ を $x+y$ に戻すと、$(x+y)^2 - 25 = x^2 + 2xy + y^2 - 25$ となります。

(2) $(2x+5)(3x-1)$

分配法則を用いて展開します。$(2x+5)(3x-1) = 2x(3x-1) + 5(3x-1) = 6x^2 - 2x + 15x - 5 = 6x^2 + 13x - 5$ となります。

(3) $(x+8y)^2$

$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ の公式を利用します。

$(x+8y)^2 = x^2 + 2(x)(8y) + (8y)^2 = x^2 + 16xy + 64y^2$ となります。

(4) $(x+1)(x-7)$

分配法則を用いて展開します。

$(x+1)(x-7) = x(x-7) + 1(x-7) = x^2 - 7x + x - 7 = x^2 - 6x - 7$ となります。

(5) $(a-3)(a+10)$

分配法則を用いて展開します。

$(a-3)(a+10) = a(a+10) - 3(a+10) = a^2 + 10a - 3a - 30 = a^2 + 7a - 30$ となります。

(6) $(2x-4y)(5x+3y)$

分配法則を用いて展開します。

$(2x-4y)(5x+3y) = 2x(5x+3y) - 4y(5x+3y) = 10x^2 + 6xy - 20xy - 12y^2 = 10x^2 - 14xy - 12y^2$ となります。

(7) $(5-2a)(5+2a)$

和と差の積の公式 $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ を利用します。

$(5-2a)(5+2a) = 5^2 - (2a)^2 = 25 - 4a^2$ となります。

(8) $(2x-3)^2(2x+3)^2$

$((2x-3)(2x+3))^2 = ((2x)^2 - 3^2)^2 = (4x^2 - 9)^2 = (4x^2)^2 - 2(4x^2)(9) + 9^2 = 16x^4 - 72x^2 + 81$ となります。

(9) $(2a+b-3c)^2$

$(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA$ を利用します。

$(2a+b-3c)^2 = (2a)^2 + b^2 + (-3c)^2 + 2(2a)(b) + 2(b)(-3c) + 2(-3c)(2a) = 4a^2 + b^2 + 9c^2 + 4ab - 6bc - 12ac$ となります。

(10) $(4a+5b)(2a+4b)$

分配法則を用いて展開します。

$(4a+5b)(2a+4b) = 4a(2a+4b) + 5b(2a+4b) = 8a^2 + 16ab + 10ab + 20b^2 = 8a^2 + 26ab + 20b^2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 25$

(2) $6x^2 + 13x - 5$

(3) $x^2 + 16xy + 64y^2$

(4) $x^2 - 6x - 7$

(5) $a^2 + 7a - 30$

(6) $10x^2 - 14xy - 12y^2$

(7) $25 - 4a^2$

(8) $16x^4 - 72x^2 + 81$

(9) $4a^2 + b^2 + 9c^2 + 4ab - 6bc - 12ac$

(10) $8a^2 + 26ab + 20b^2$