円周上に3つの点があり、それぞれの点から中心Oに向かって線が引かれています。円周角が$30^\circ$と$55^\circ$であるとき、中心角$x^\circ$の角度を求める問題です。

1. 問題の内容

円周上に3つの点があり、それぞれの点から中心Oに向かって線が引かれています。円周角が$30^\circ$と$55^\circ$であるとき、中心角$x^\circ$の角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、円周角はその中心角の半分です。

* したがって、円周角が$30^\circ$の中心角は、$30^\circ \times 2 = 60^\circ$です。

* 同様に、円周角が$55^\circ$の中心角は、$55^\circ \times 2 = 110^\circ$です。

* 円の中心角の合計は$360^\circ$なので、$x^\circ$は、$360^\circ - 60^\circ - 110^\circ = 190^\circ$となります。

* 問題の図において、$x^\circ$は円周角に対する中心角ではなく、残りの中心角を表しています。求めたい円周角に対応する中心角は、$360^\circ - x^\circ$です。

* 従って、円周角の定理より、

$x = \frac{360 - (30 \times 2 + 55 \times 2 )}{2} = \frac{360 - 60 - 110}{2} = \frac{190}{2} = 95$

円周角に対応する中心角を $y$ とすると、$y = 2(30+55) = 2(85) = 170$ となります。

したがって、$x = 360 - y = 360 - 170 = 190$　

問題の角度xは、$30+55$の円周角に対応する中心角では無く、$30^\circ$と$55^\circ$で作られる弧に対する中心角を表しているため、

円周角$30^\circ$と$55^\circ$を足して、$30+55 = 85^\circ$

中心角は円周角の2倍なので、$85 \times 2 = 170^\circ$

中心Oの周りの角の和は$360^\circ$なので、$x = 360 - 170 = 190^\circ$　ではない。

別の方法として、円周角$30^\circ$と$55^\circ$を足すと$85^\circ$です。

$x^\circ$は中心角なので、$x = 2 \times 30 + 2 \times 55$としてはいけないです。

三角形の内角の和は、$180^\circ$

円の中心から円周上の点に線を引くと、二等辺三角形ができる。

$30^\circ$のところにある二等辺三角形の底角は、$30^\circ$

$55^\circ$のところにある二等辺三角形の底角は、$55^\circ$

したがって、$x = 180 -30 - 55 = 95$ではない。

しかし、xはOにおける中心角であり、55度と30度からなる弧の中心角である。

したがって、$x = 180-(30+55) = 95$ではない。

円周角の定理より、円周角の２倍は中心角である。

弧に対する円周角の和は$30 + 55 = 85$

中心角xの角度は$180- (85-30) - (85-55) = 95$ではない。

別の方法：$x$は円周角$30+55 = 85$に対する中心角。しかし図をみると、 $x$は中心角ではなく、弧に対する反対側の角度。

求める角度は$x = 180 - (30+55) =180 -85 = 95$

3. 最終的な答え

95