$3x + 5y = 231$ を満たす自然数 $x, y$ の組の数を求める。

1. 問題の内容

$3x + 5y = 231$ を満たす自然数 $x, y$ の組の数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$3x = 231 - 5y$ と変形する。

$x$ は自然数なので、$3x > 0$ より $231 - 5y > 0$ が成り立つ必要がある。

$5y < 231$

$y < \frac{231}{5} = 46.2$

$y$ は自然数なので、$1 \le y \le 46$ である。

次に、$x$ が整数であるためには、$231 - 5y$ が 3 の倍数である必要がある。

$231$ は 3 の倍数なので、$5y$ が 3 の倍数であればよい。

$5$ は 3 の倍数ではないので、$y$ が 3 の倍数である必要がある。

したがって、$y = 3, 6, 9, ..., 45$ のいずれかとなる。

$y = 3n$ とおくと、$1 \le y \le 46$ より $1 \le 3n \le 46$ なので、$1 \le n \le \frac{46}{3} = 15.333...$ となる。

$n$ は整数なので、$1 \le n \le 15$ である。

$n$ が 1 から 15 までの整数であるとき、$y = 3n$ は $3x + 5y = 231$ を満たす $y$ の値である。

$y = 3n$ を $3x + 5y = 231$ に代入すると、

$3x + 5(3n) = 231$

$3x + 15n = 231$

$3x = 231 - 15n$

$x = \frac{231 - 15n}{3} = 77 - 5n$

$x$ が自然数であるためには、$77 - 5n > 0$ である必要がある。

$5n < 77$

$n < \frac{77}{5} = 15.4$

$n$ は整数なので、$1 \le n \le 15$ のとき、$x = 77 - 5n$ は自然数である。

したがって、$y$ が 3 の倍数である $y = 3, 6, 9, ..., 45$ に対応する $x$ が自然数となる $n$ は $1 \le n \le 15$ の範囲にあるので、$x, y$ の組は 15 組存在する。

3. 最終的な答え

15組