(1) $3x+5y=231$ を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求めます。 (2) $7x+5y=2$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$7 \le 2x+3y \le 100$ を満たすものの個数を求めます。 (3) $2x-5y=7$ を満たす整数 $x, y$ に対して、$x^2+y^2$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $3x+5y=231$ を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求めます。

(2) $7x+5y=2$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$7 \le 2x+3y \le 100$ を満たすものの個数を求めます。

(3) $2x-5y=7$ を満たす整数 $x, y$ に対して、$x^2+y^2$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $3x+5y=231$ を満たす自然数解を求めます。

まず、$x$ について解くと、

$3x = 231 - 5y$

$x = 77 - \frac{5}{3}y$

$x$ が自然数であるためには、$y$ は 3 の倍数である必要があります。つまり、$y = 3k$ （$k$ は自然数）と書けます。

$x = 77 - 5k$

$x$ と $y$ が自然数である条件から、

$77 - 5k > 0$ かつ $3k > 0$

$5k < 77$ かつ $k > 0$

$k < \frac{77}{5} = 15.4$

$k$ は自然数なので、$1 \le k \le 15$。

したがって、$k$ は 1 から 15 までの 15 個の自然数を取りえます。

(2) $7x+5y=2$ を満たす整数解を求めます。

$7x+5y=2$

$7x+5y=7 \cdot 1 + 5 \cdot (-1)$ を考えると、$7(x-1) + 5(y+1) = 0$。

$7(x-1) = -5(y+1)$

$x-1 = 5k$, $y+1 = -7k$ （$k$ は整数）

$x = 5k+1$, $y = -7k-1$

条件 $7 \le 2x+3y \le 100$ に代入すると、

$7 \le 2(5k+1) + 3(-7k-1) \le 100$

$7 \le 10k+2 - 21k - 3 \le 100$

$7 \le -11k - 1 \le 100$

$8 \le -11k \le 101$

$-\frac{101}{11} \le k \le -\frac{8}{11}$

$-9.18 \le k \le -0.72$

$k$ は整数なので、$k = -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1$ の 9 個の整数値を取ります。

(3) $2x-5y=7$ を満たす整数 $x, y$ に対して、$x^2+y^2$ の最小値を求めます。

$2x = 5y+7$

$x = \frac{5y+7}{2}$

$x$ が整数であるためには、$5y+7$ が偶数である必要があります。

$5y$ が奇数であれば、$5y+7$ は偶数になります。したがって、$y$ は奇数である必要があります。

$y = 2k+1$ （$k$ は整数）と書けます。

$x = \frac{5(2k+1)+7}{2} = \frac{10k+5+7}{2} = \frac{10k+12}{2} = 5k+6$

$x = 5k+6$, $y = 2k+1$

$x^2+y^2 = (5k+6)^2 + (2k+1)^2 = 25k^2+60k+36 + 4k^2+4k+1 = 29k^2+64k+37$

$f(k) = 29k^2+64k+37$

$f'(k) = 58k+64$

$f'(k) = 0$ となる $k$ は、$k = -\frac{64}{58} = -\frac{32}{29} \approx -1.10$

$k$ は整数なので、$k=-1$ または $k=-2$ で最小値を取る可能性があります。

$f(-1) = 29-64+37 = 2$, $f(-2) = 29(4) + 64(-2) + 37 = 116 - 128 + 37 = 25$

$k=-1$ のとき、$x = 5(-1)+6 = 1$, $y = 2(-1)+1 = -1$

$k=-2$ のとき、$x = 5(-2)+6 = -4$, $y = 2(-2)+1 = -3$

$x^2+y^2 = 1^2+(-1)^2 = 2$

$x^2+y^2 = (-4)^2+(-3)^2 = 16+9 = 25$

最小値は 2。

3. 最終的な答え

(1) 15組

(2) 9組

(3) 2