10本のくじの中に3本の当たりくじがある。 (1) 3本のくじを順番に引くとき、当たりが2回出る確率を求める。ただし、引いたくじは毎回戻す。 (2) 3本のくじを同時に引くとき、3本とも当たりである確率を求める。

1. 問題の内容

10本のくじの中に3本の当たりくじがある。

(1) 3本のくじを順番に引くとき、当たりが2回出る確率を求める。ただし、引いたくじは毎回戻す。

(2) 3本のくじを同時に引くとき、3本とも当たりである確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3本のくじを順番に引いて当たりが2回出る確率

引いたくじを毎回戻すので、各試行は独立である。

当たりを引く確率は $3/10$ であり、外れを引く確率は $7/10$ である。

3回中2回当たるパターンは、当たり、当たり、外れ(当当外)、当たり、外れ、当たり(当外当)、外れ、当たり、当たり(外当当)の3通りである。

それぞれの確率は、

$P(当当外) = (3/10) \times (3/10) \times (7/10) = 63/1000$

$P(当外当) = (3/10) \times (7/10) \times (3/10) = 63/1000$

$P(外当当) = (7/10) \times (3/10) \times (3/10) = 63/1000$

求める確率はこれらの合計である。

$P = 3 \times (63/1000) = 189/1000 = 0.189$

(2) 3本のくじを同時に引いてすべて当たりが出る確率

これは組み合わせの問題として考える。

10本のくじから3本を選ぶ組み合わせは $_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通りである。

当たりくじ3本を選ぶ組み合わせは $_{3}C_3 = 1$ 通りである。

したがって、3本とも当たりである確率は

$P = \frac{_{3}C_3}{_{10}C_3} = \frac{1}{120}$

3. 最終的な答え

(1) 3本のくじを順番に引いて当たりが2回出る確率は $\frac{189}{1000}$

(2) 3本のくじを同時に引いてすべて当たりが出る確率は $\frac{1}{120}$