袋の中に赤玉3個、白玉3個が入っている。 (1) 玉を1個取り出して色を確認して袋に戻すことを3回繰り返すとき、赤玉が2回以上出る確率を求めよ。 (2) 3個の玉を同時に取り出すとき、そのうち2個が赤玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、白玉3個が入っている。

(1) 玉を1個取り出して色を確認して袋に戻すことを3回繰り返すとき、赤玉が2回以上出る確率を求めよ。

(2) 3個の玉を同時に取り出すとき、そのうち2個が赤玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$である。これは反復試行の確率の問題である。

赤玉が2回以上出る確率は、赤玉が2回出る確率と赤玉が3回出る確率の和である。

赤玉が2回出る確率:

3回の試行のうち2回が赤玉である確率は、二項分布の公式を用いて計算できる。

${}_3 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8}$

赤玉が3回出る確率:

3回の試行全てが赤玉である確率は、二項分布の公式を用いて計算できる。

${}_3 \mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \times \left(\frac{1}{8}\right) \times 1 = \frac{1}{8}$

したがって、赤玉が2回以上出る確率は、$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

(2)

3個の玉を同時に取り出すとき、全部で ${}_6 \mathrm{C}_3$ 通りの取り出し方がある。

${}_6 \mathrm{C}_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

3個のうち2個が赤玉である取り出し方は、赤玉3個から2個を選び、白玉3個から1個を選ぶ組み合わせである。

赤玉2個の選び方は ${}_3 \mathrm{C}_2$ 通り、白玉1個の選び方は ${}_3 \mathrm{C}_1$ 通りである。

${}_3 \mathrm{C}_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$

${}_3 \mathrm{C}_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$

したがって、3個のうち2個が赤玉である取り出し方は $3 \times 3 = 9$ 通りである。

求める確率は $\frac{9}{20}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{9}{20}$