確率の問題が2つあります。 (1) 事象A, Bにおいて、$P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.3$, $P(A \cup B) = 0.6$であるとき、$P(A \cap B)$, $P(A \cap \overline{B})$, $P(\overline{A} \cap B)$を求める。 (2) A, Bのどちらか一方だけが起こる事象を、A, B, $\cup$, $\cap$, $\overline{}$を用いて表し、その事象が起こる確率を求める。 追加で、 赤玉4個と白玉5個の入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、 (1) 3個とも白玉である確率を求める。 (2) 1個だけが赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

確率の問題が2つあります。

(1) 事象A, Bにおいて、$P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.3$, $P(A \cup B) = 0.6$であるとき、$P(A \cap B)$, $P(A \cap \overline{B})$, $P(\overline{A} \cap B)$を求める。

(2) A, Bのどちらか一方だけが起こる事象を、A, B, $\cup$, $\cap$, $\overline{}$を用いて表し、その事象が起こる確率を求める。

追加で、

赤玉4個と白玉5個の入った袋から、3個の玉を同時に取り出すとき、

(1) 3個とも白玉である確率を求める。

(2) 1個だけが赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ の公式を利用して$P(A \cap B)$を求めます。

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.3 - 0.6 = 0.2$

次に、$P(A \cap \overline{B})$を求めます。これはAが起こり、Bが起こらない確率なので、$P(A) - P(A \cap B)$で求めることができます。

$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.2 = 0.3$

最後に、$P(\overline{A} \cap B)$を求めます。これはBが起こり、Aが起こらない確率なので、$P(B) - P(A \cap B)$で求めることができます。

$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.2 = 0.1$

(2)

A, Bのどちらか一方だけが起こる事象は、$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ と表すことができます。これは排反事象なので、確率の和として計算できます。

$P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.3 + 0.1 = 0.4$

追加の問題：

袋の中に赤玉4個、白玉5個が入っている。合計9個の玉から3個を同時に取り出す。

(1) 3個とも白玉である確率。

3個とも白玉である取り出し方は、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

3個の玉の取り出し方の総数は、${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$通り。

よって、確率は$\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$。

(2) 1個だけが赤玉である確率。

赤玉1個、白玉2個を取り出す方法は、${}_4C_1 \times {}_5C_2 = 4 \times \frac{5!}{2!3!} = 4 \times \frac{5 \times 4}{2} = 4 \times 10 = 40$通り。

3個の玉の取り出し方の総数は、${}_9C_3 = 84$通り。

よって、確率は$\frac{40}{84} = \frac{10}{21}$。

3. 最終的な答え

(1) $P(A \cap B) = 0.2$, $P(A \cap \overline{B}) = 0.3$, $P(\overline{A} \cap B) = 0.1$

(2) $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$, 確率は$0.4$

追加の問題：

(1) $\frac{5}{42}$

(2) $\frac{10}{21}$