(1) サイコロを4回投げたとき、2の倍数の目が3回出る確率を求める。 (2) 12個の製品の中に不良品が4個含まれている。この中から4個取り出すとき、含まれる不良品が3個以下である確率を求める。

1. 問題の内容

(1) サイコロを4回投げたとき、2の倍数の目が3回出る確率を求める。

(2) 12個の製品の中に不良品が4個含まれている。この中から4個取り出すとき、含まれる不良品が3個以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを4回投げる試行は独立である。1回の試行で2の倍数の目が出る確率は $3/6 = 1/2$ である。したがって、これは二項分布に従う。4回の試行で3回2の倍数の目が出る確率は、以下の式で計算できる。

$P(X=3) = {}_4 C_3 \times (1/2)^3 \times (1/2)^{4-3} = 4 \times (1/8) \times (1/2) = 4/16 = 1/4$

(2) 全体の製品数12個から4個を取り出す組み合わせの総数は ${}_{12} C_4$ である。

不良品が3個以下である確率を求めるために、不良品が0個、1個、2個、3個である確率をそれぞれ求め、それらを足し合わせる。

不良品が0個の確率:

不良品でない製品は8個あるので、そこから4個選ぶ組み合わせの数は ${}_8 C_4$。

したがって、不良品が0個である確率は ${}_8 C_4 / {}_{12} C_4$。

不良品が1個の確率:

不良品4個から1個、不良品でない製品8個から3個を選ぶ組み合わせの数は ${}_4 C_1 \times {}_8 C_3$。

したがって、不良品が1個である確率は $({}_4 C_1 \times {}_8 C_3) / {}_{12} C_4$。

不良品が2個の確率:

不良品4個から2個、不良品でない製品8個から2個を選ぶ組み合わせの数は ${}_4 C_2 \times {}_8 C_2$。

したがって、不良品が2個である確率は $({}_4 C_2 \times {}_8 C_2) / {}_{12} C_4$。

不良品が3個の確率:

不良品4個から3個、不良品でない製品8個から1個を選ぶ組み合わせの数は ${}_4 C_3 \times {}_8 C_1$。

したがって、不良品が3個である確率は $({}_4 C_3 \times {}_8 C_1) / {}_{12} C_4$。

${}_{12} C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

${}_8 C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

${}_4 C_1 = 4$

${}_8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_8 C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

${}_4 C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$

${}_8 C_1 = 8$

不良品が0個の確率は $70/495$。

不良品が1個の確率は $(4 \times 56) / 495 = 224/495$。

不良品が2個の確率は $(6 \times 28) / 495 = 168/495$。

不良品が3個の確率は $(4 \times 8) / 495 = 32/495$。

求める確率は $(70 + 224 + 168 + 32) / 495 = 494/495$。

3. 最終的な答え

(1) 1/4

(2) 494/495