三角形ABCにおいて、AB=9, BC=5, AC=6である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。このとき、線分BDの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=9, BC=5, AC=6である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。このとき、線分BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき、三角形ABCにおいて、外角の二等分線の定理より、

$AB:AC = BD:CD$

が成り立つ。

ここで、BDの長さをxとすると、CDの長さはBC+BD = 5+xとなる。

したがって、

$9:6 = x:(5+x)$

という比例式が成り立つ。

これを解くと、

$9(5+x) = 6x$

$45+9x=6x$

$3x = -45$

$x = -15$

ただし、xはBDの長さであるから正の値をとるはずである。

比例式を間違えたか確認する。

$AB:AC = BD:CD$

$9:6 = x:(5+x)$

$9(5+x) = 6x$

$45 + 9x = 6x$

$3x = -45$

計算はあっている。

ここで、外角の二等分線の定理は、

$AB:AC = BD:CD$

である。CD = BC + BD = 5+x より、

$9:6 = x : (5+x)$

したがって、

$9(5+x) = 6x$

$45+9x=6x$

$3x=-45$

$x=-15$

となる。

計算間違いはない。

ここで、外角の二等分線の定理において、AB > AC の場合、外角の二等分線と辺BCの延長との交点Dは辺BCの外にある。

$BD:CD = AB:AC$

$BD: (BC+BD) = AB:AC$

$BD = x$ とすると

$x:(5+x) = 9:6$

$6x = 9(5+x)$

$6x = 45+9x$

$-3x=45$

$x = -15$

これはありえない。

外角の二等分線の定理を正しく理解する必要がある。

AB = 9, AC = 6, BC = 5

$BD:CD = AB:AC$

$BD:(BC+BD) = 9:6$

$x:(5+x) = 9:6$

$6x = 9(5+x)$

$6x = 45+9x$

$-3x = 45$

$x=-15$

これはありえない。

ここで、

$CD = BC + BD$ が正しいか確認する。

点DはBCの延長線上にあるから、CD = BC+BD で正しい。

三角形の外角の二等分線の定理では、AB:AC = BD:CD が成り立つ。ここで、BD=x とおくと、CD = BC+BD = 5+x である。

したがって、9:6 = x:(5+x) となる。

これを解くと、6x = 9(5+x) => 6x = 45+9x => -3x = 45 => x = -15 となる。

これはありえない。

考え直すと、

$AB:AC = BD:CD$

$CD = |BC \pm BD|$ となる。

$9:6 = BD:|5+BD|$ となる。

$3:2=BD:|5+BD|$

$2BD = 3|5-BD|$

場合分けをする。

場合1: $5+BD>0$　すなわち、$BD>-5$　これは常に成立

$2BD = 3(5+BD)$

$2BD=15+3BD$

$-BD=15$

$BD=-15$　これは不適

場合2:$5+BD<0$ これはあり得ない

そこで、$AC:AB=CD:BD$

$6:9 = CD:x$

$2:3=CD:x$

$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$

$\frac{6}{9}=\frac{CD}{x}$

$\frac{2}{3}=\frac{CD}{x}$

$CD=x\pm 5$

$\frac{2}{3}=\frac{x-5}{x}$

$2x=3x-15$

$-x=-15$

$x=15$

3. 最終的な答え

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