Oを原点とする座標空間に3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)がある。平面OABに関して点Cと対称な点をDとする。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と三角形OABの面積を求める。 (2) 実数$s$, $t$, $u$を用いて$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$と表す。平面OABに関して点Dと点Cは対称なので、$u$を求め、$\vec{OD} \cdot \vec{OA}$, $\vec{OD} \cdot \vec{OB}$, $s$, $t$を求める。 (3) 点Cと点Dの間の距離と、四面体OABCの体積を求める。 (4) 三角形ABCの面積と、三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。 (5) 4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心のz座標と半径を求める。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標空間に3点A(1, -1, 0), B(1, 1, 4), C(4, 3, 5)がある。平面OABに関して点Cと対称な点をDとする。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$と三角形OABの面積を求める。

(2) 実数$s$, $t$, $u$を用いて$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$と表す。平面OABに関して点Dと点Cは対称なので、$u$を求め、$\vec{OD} \cdot \vec{OA}$, $\vec{OD} \cdot \vec{OB}$, $s$, $t$を求める。

(3) 点Cと点Dの間の距離と、四面体OABCの体積を求める。

(4) 三角形ABCの面積と、三角形ABCを底面とする三角錐O-ABCの高さを求める。

(5) 4点A, B, C, Dのすべてを通る球面の中心のz座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OA} = (1, -1, 0)$, $\vec{OB} = (1, 1, 4)$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 1 - 1 + 0 = 0$

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

三角形OABの面積 = $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(2)

点Cと点Dが平面OABに関して対称なので、$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$において、$u = -1$。

$\vec{OD} = (x_D, y_D, z_D)$とする。

$\vec{OC} = (4, 3, 5)$

$\vec{OD} = s(1, -1, 0) + t(1, 1, 4) - (4, 3, 5) = (s + t - 4, -s + t - 3, 4t - 5)$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (s + t - 8, -s + t - 6, 4t - 10)$

$\vec{CD}$は平面OABに垂直なので、$\vec{CD} = k(\vec{OA} \times \vec{OB}) = k(-4, -4, 2)$

$s + t - 8 = -4k$, $-s + t - 6 = -4k$, $4t - 10 = 2k$

$s + t - 8 = -s + t - 6$より、$2s = 2$, $s = 1$

$1 + t - 8 = -4k$, $4t - 10 = 2k$

$t - 7 = -4k$, $4t - 10 = 2k$

$t = -2k + 7$

$4(-2k + 7) - 10 = 2k$

$-8k + 28 - 10 = 2k$

$10k = 18$, $k = \frac{9}{5}$

$t = -2 \cdot \frac{9}{5} + 7 = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5} = \frac{17}{5}$

$\vec{OD} = (1 + \frac{17}{5} - 4, -1 + \frac{17}{5} - 3, 4 \cdot \frac{17}{5} - 5) = (\frac{5 + 17 - 20}{5}, \frac{-5 + 17 - 15}{5}, \frac{68 - 25}{5}) = (\frac{2}{5}, -\frac{3}{5}, \frac{43}{5})$

$\vec{OD} \cdot \vec{OA} = \frac{2}{5} \cdot 1 + (-\frac{3}{5}) \cdot (-1) + \frac{43}{5} \cdot 0 = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1$

$\vec{OD} \cdot \vec{OB} = \frac{2}{5} \cdot 1 + (-\frac{3}{5}) \cdot 1 + \frac{43}{5} \cdot 4 = \frac{2 - 3 + 172}{5} = \frac{171}{5}$

(3)

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (\frac{2}{5} - 4, -\frac{3}{5} - 3, \frac{43}{5} - 5) = (\frac{2 - 20}{5}, \frac{-3 - 15}{5}, \frac{43 - 25}{5}) = (-\frac{18}{5}, -\frac{18}{5}, \frac{18}{5})$

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-\frac{18}{5})^2 + (-\frac{18}{5})^2 + (\frac{18}{5})^2} = \sqrt{3 \cdot (\frac{18}{5})^2} = \frac{18}{5}\sqrt{3}$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{3} \cdot$ 三角形OABの面積 $\cdot$ OCの平面OABへの正射影ベクトルの大きさ。

$\vec{OC}$の平面OABへの正射影ベクトルは$(\vec{OD} + \vec{OC})/2 = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{5}+4, -\frac{3}{5}+3, \frac{43}{5}+5) = (\frac{1}{2}) (\frac{22}{5}, \frac{12}{5}, \frac{68}{5}) = (\frac{11}{5}, \frac{6}{5}, \frac{34}{5})$

平面OABに垂直なベクトルは $\vec{OA} \times \vec{OB} = (-4, -4, 2)$

$\vec{OC}$から平面OABへの距離は $|\frac{\vec{OC} \cdot (\vec{OA} \times \vec{OB})}{|\vec{OA} \times \vec{OB}|} | = |\frac{(4, 3, 5) \cdot (-4, -4, 2)}{6}| = |\frac{-16 - 12 + 10}{6}| = |\frac{-18}{6}| = 3$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$, 三角形OABの面積 = 3

(2) $u = -1$, $\vec{OD} \cdot \vec{OA} = 1$, $\vec{OD} \cdot \vec{OB} = \frac{171}{5}$, $s = 1$, $t = \frac{17}{5}$

(3) $|\vec{CD}| = \frac{18\sqrt{3}}{5}$, 四面体OABCの体積 = 3

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

三角形OABの面積 = 3

$u = -1$

$\vec{OD} \cdot \vec{OA} = 1$

$\vec{OD} \cdot \vec{OB} = \frac{171}{5}$

$s = 1$

$t = \frac{17}{5}$

点Cと点Dの距離 = $\frac{18\sqrt{3}}{5}$

四面体OABCの体積 = 3