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(1) $\cos\theta \neq 0$ のとき、$\frac{\sin 4\theta}{\cos \theta}$ を $\sin \theta$ を用いて表す。 (2) $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{6}$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{6}$ のとき、$\tan(\alpha+\beta+\gamma)$ を $\tan \alpha$, $\tan \beta$, $\tan \gamma$ を用いて表す。

解析学三角関数倍角の公式加法定理
2025/4/14

1. 問題の内容

(1) cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0 のとき、sin⁡4θcos⁡θ\frac{\sin 4\theta}{\cos \theta} を sin⁡θ\sin \theta を用いて表す。
(2) 0<α<π60 < \alpha < \frac{\pi}{6}, 0<β<π60 < \beta < \frac{\pi}{6}, 0<γ<π60 < \gamma < \frac{\pi}{6} のとき、tan⁡(α+β+γ)\tan(\alpha+\beta+\gamma) を tan⁡α\tan \alpha, tan⁡β\tan \beta, tan⁡γ\tan \gamma を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)
まず、sin⁡4θ\sin 4\theta を倍角の公式を使って変形する。
sin⁡4θ=2sin⁡2θcos⁡2θ=2(2sin⁡θcos⁡θ)(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=4sin⁡θcos⁡θ(cos⁡2θ−sin⁡2θ)\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta = 2 (2 \sin \theta \cos \theta) (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 4 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)
したがって、
sin⁡4θcos⁡θ=4sin⁡θcos⁡θ(cos⁡2θ−sin⁡2θ)cos⁡θ=4sin⁡θ(cos⁡2θ−sin⁡2θ)\frac{\sin 4\theta}{\cos \theta} = \frac{4 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)}{\cos \theta} = 4 \sin \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)
ここで、cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta を使うと、
sin⁡4θcos⁡θ=4sin⁡θ(1−sin⁡2θ−sin⁡2θ)=4sin⁡θ(1−2sin⁡2θ)=4sin⁡θ−8sin⁡3θ\frac{\sin 4\theta}{\cos \theta} = 4 \sin \theta (1 - \sin^2 \theta - \sin^2 \theta) = 4 \sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 4 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta
(2)
まず、tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) を計算する。
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
次に、tan⁡(α+β+γ)=tan⁡((α+β)+γ)\tan(\alpha+\beta+\gamma) = \tan((\alpha+\beta)+\gamma) を計算する。
tan⁡(α+β+γ)=tan⁡(α+β)+tan⁡γ1−tan⁡(α+β)tan⁡γ=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β+tan⁡γ1−tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡βtan⁡γ\tan(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tan(\alpha+\beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha+\beta) \tan \gamma} = \frac{\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} + \tan \gamma}{1 - \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \tan \gamma}
分母分子に 1−tan⁡αtan⁡β1 - \tan \alpha \tan \beta をかけると、
tan⁡(α+β+γ)=tan⁡α+tan⁡β+tan⁡γ(1−tan⁡αtan⁡β)1−tan⁡αtan⁡β−(tan⁡α+tan⁡β)tan⁡γ=tan⁡α+tan⁡β+tan⁡γ−tan⁡αtan⁡βtan⁡γ1−tan⁡αtan⁡β−tan⁡βtan⁡γ−tan⁡γtan⁡α\tan(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta)}{1 - \tan \alpha \tan \beta - (\tan \alpha + \tan \beta) \tan \gamma} = \frac{\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma - \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma}{1 - \tan \alpha \tan \beta - \tan \beta \tan \gamma - \tan \gamma \tan \alpha}

3. 最終的な答え

(1) 4sin⁡θ−8sin⁡3θ4\sin\theta - 8\sin^3\theta
(2) tan⁡α+tan⁡β+tan⁡γ−tan⁡αtan⁡βtan⁡γ1−tan⁡αtan⁡β−tan⁡βtan⁡γ−tan⁡γtan⁡α\frac{\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma - \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma}{1 - \tan \alpha \tan \beta - \tan \beta \tan \gamma - \tan \gamma \tan \alpha}

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