(1) $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表しなさい。 (2) $0 < \theta < \frac{\pi}{8}$ のとき、$\tan 4\theta$ を $\tan \theta$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

(1) $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表しなさい。

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{8}$ のとき、$\tan 4\theta$ を $\tan \theta$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ で表す。

まず、2倍角の公式を使って $\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表すと、

$$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$$

次に、$\cos 4\theta$ を $\cos 2\theta$ で表すと、

$$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$$

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を代入して、

$$$$

\begin{aligned}

\cos 4\theta &= 2(2\cos^2 \theta - 1)^2 - 1 \\

&= 2(4\cos^4 \theta - 4\cos^2 \theta + 1) - 1 \\

&= 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 2 - 1 \\

&= 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1

\end{aligned}

$$$$

(2) $\tan 4\theta$ を $\tan \theta$ で表す。

まず、2倍角の公式を使って $\tan 2\theta$ を $\tan \theta$ で表すと、

$$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

次に、$\tan 4\theta$ を $\tan 2\theta$ で表すと、

$$\tan 4\theta = \frac{2\tan 2\theta}{1 - \tan^2 2\theta}$$

$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ を代入して、

$$$$

\begin{aligned}

\tan 4\theta &= \frac{2(\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta})}{1 - (\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta})^2} \\

&= \frac{\frac{4\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}}{1 - \frac{4\tan^2 \theta}{(1 - \tan^2 \theta)^2}} \\

&= \frac{4\tan \theta (1 - \tan^2 \theta)}{(1 - \tan^2 \theta)^2 - 4\tan^2 \theta} \\

&= \frac{4\tan \theta - 4\tan^3 \theta}{1 - 2\tan^2 \theta + \tan^4 \theta - 4\tan^2 \theta} \\

&= \frac{4\tan \theta - 4\tan^3 \theta}{1 - 6\tan^2 \theta + \tan^4 \theta}

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 4\theta = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1$

(2) $\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta - 4\tan^3 \theta}{1 - 6\tan^2 \theta + \tan^4 \theta}$