$0 < \alpha < \pi$ のとき、$\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \sin 4\alpha = 0$ を満たす $\alpha$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \pi$ のとき、$\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \sin 4\alpha = 0$ を満たす $\alpha$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の和積公式を用いて、式を簡単にします。

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$\sin \alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{-3\alpha}{2} = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}$

$\sin 2\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{-\alpha}{2} = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

したがって、

$\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} + 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

$= 2 \sin \frac{5\alpha}{2} (\cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})$

ここで、さらに和積公式を用いて、

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$\cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cos \alpha \cos \frac{\alpha}{2}$

よって、

$\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha}{2} \cdot 2 \cos \alpha \cos \frac{\alpha}{2} = 4 \sin \frac{5\alpha}{2} \cos \alpha \cos \frac{\alpha}{2} = 0$

したがって、

$\sin \frac{5\alpha}{2} = 0$ または $\cos \alpha = 0$ または $\cos \frac{\alpha}{2} = 0$

(i) $\sin \frac{5\alpha}{2} = 0$ のとき、$\frac{5\alpha}{2} = n\pi$ (nは整数) より、$\alpha = \frac{2n\pi}{5}$

$0 < \alpha < \pi$ であるから、$0 < \frac{2n\pi}{5} < \pi$ より、$0 < n < \frac{5}{2}$

よって、$n = 1, 2$ であり、$\alpha = \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}$

(ii) $\cos \alpha = 0$ のとき、$\alpha = \frac{\pi}{2}$

$0 < \alpha < \pi$ を満たす。

(iii) $\cos \frac{\alpha}{2} = 0$ のとき、$\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数) より、$\alpha = \pi + 2n\pi$

$0 < \alpha < \pi$ であるから、これを満たす $\alpha$ は存在しない。

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{5}$