与えられた等式 $(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$ を、nが正の整数の場合に証明する。

1. 問題の内容

与えられた等式 $(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$ を、nが正の整数の場合に証明する。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を利用して証明する。ド・モアブルの定理は $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$ と表される。

まず、$(\cos \theta - i \sin \theta)$を極形式で表す。

$\cos (-\theta) = \cos \theta$ かつ $\sin (-\theta) = - \sin \theta$ であるから、

$\cos \theta - i \sin \theta = \cos (-\theta) + i \sin (-\theta)$ となる。

従って、

$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))^n$

ド・モアブルの定理より、

$(\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))^n = \cos (-n\theta) + i \sin (-n\theta)$

再び$\cos (-\theta) = \cos \theta$ かつ $\sin (-\theta) = - \sin \theta$ を利用して、

$\cos (-n\theta) + i \sin (-n\theta) = \cos (n\theta) - i \sin (n\theta)$

よって、$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$ が示された。

3. 最終的な答え

$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$