$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin{\alpha} = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin{2\alpha}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin{\alpha} = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin{2\alpha}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{\alpha}$ の値を求めます。$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ という公式を利用します。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ であることから、$\cos{\alpha} < 0$ であることに注意します。

$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$

$\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より $\cos{\alpha} < 0$ なので、

$\cos{\alpha} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\sin{2\alpha}$ の値を求めます。$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ という公式を利用します。

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = 2 \times \frac{1}{3} \times (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4\sqrt{2}}{9}$