n を集合の濃度、1 を一点集合の濃度とするとき、$n^1 = n$ を示す問題です。構成した写像が全単射であることの証明は省略して良いとのことです。

1. 問題の内容

n を集合の濃度、1 を一点集合の濃度とするとき、$n^1 = n$ を示す問題です。構成した写像が全単射であることの証明は省略して良いとのことです。

2. 解き方の手順

濃度n の集合をAとします。一点集合の濃度が1なので、一点集合を{x}とします。$n^1$ は、集合 $\{x\}$ から集合 A への写像全体の集合の濃度を意味します。

$\{x\}$ から A への写像 f を考えます。この写像は、$x$ を A のある要素 $a$ に対応させます。つまり、$f(x) = a$ となります。A の各要素 a に対して、このような写像 f が一つずつ存在します。

したがって、$\{x\}$ から A への写像全体の集合の濃度は、A の濃度に等しくなります。

なぜなら、$f(x) = a$ であるような写像 f を $f_a$ と書くことにすれば、写像 $f_a$ と A の要素 $a$ との間に一対一対応が存在するからです。

写像 $f_a$ 全体の集合を F とすれば、写像 F から集合 A への全単射写像が存在することになり、|F| = |A| = n が導かれます。

つまり、$n^1 = n$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$n^1 = n$