与えられた複素数を極形式で表す問題です。 (1) $\sqrt{3} + i$ (2) $1 - i$ 偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。

(1) $\sqrt{3} + i$

(2) $1 - i$

偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3} + i$ について

複素数 $z = x + yi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されます。

ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

$x = \sqrt{3}$, $y = 1$ なので、$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ となります。

$\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、$\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$となります。

(2) $1 - i$ について

複素数 $z = x + yi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されます。

ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

$x = 1$, $y = -1$ なので、$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ となります。

$\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{7\pi}{4}$ です。

したがって、$1 - i = \sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4})$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{1}{6}\pi + i\sin\frac{1}{6}\pi)$

(2) $1 - i = \sqrt{2}(\cos\frac{7}{4}\pi + i\sin\frac{7}{4}\pi)$