$A, B$ は順序集合であり、$f: A \to B$ は $A$ から $B$ への写像である。任意の $a, a' \in A$ に対して、$f(a) \leq_B f(a')$ ならば $a \leq_A a'$ が成り立つ。このとき、$f$ が単射であるかどうかを予想し、証明する。

1. 問題の内容

$A, B$ は順序集合であり、$f: A \to B$ は $A$ から $B$ への写像である。任意の $a, a' \in A$ に対して、$f(a) \leq_B f(a')$ ならば $a \leq_A a'$ が成り立つ。このとき、$f$ が単射であるかどうかを予想し、証明する。

2. 解き方の手順

まず、$f$ が単射であると予想する。

単射であることを示すためには、$f(a) = f(a')$ ならば $a = a'$ を示せばよい。

$f(a) = f(a')$ であると仮定する。

順序関係の反対称性から、$a \le_A a'$ かつ $a' \le_A a$ を示すことを目指す。

$f(a) = f(a')$ より、$f(a) \le_B f(a')$ が成り立つ。

問題文の条件より、$f(a) \leq_B f(a')$ ならば $a \leq_A a'$ である。

したがって、$a \leq_A a'$ が成り立つ。

同様に、$f(a) = f(a')$ より、$f(a') = f(a)$ であるから、$f(a') \leq_B f(a)$ が成り立つ。

問題文の条件より、$f(a') \leq_B f(a)$ ならば $a' \leq_A a$ である。

したがって、$a' \leq_A a$ が成り立つ。

$a \leq_A a'$ かつ $a' \leq_A a$ が成り立ち、$(A, \leq_A)$ は順序集合であるから、$\leq_A$ は反対称律を満たす。

したがって、$a = a'$ が成り立つ。

以上より、$f(a) = f(a')$ ならば $a = a'$ が示されたので、$f$ は単射である。

3. 最終的な答え

$f$ は単射である。