写像 $f: A \to B$ と、$A$ の部分集合族 $(P_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ が与えられたとき、包含関係 $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が正しいかどうかを予想し、それを証明する。

1. 問題の内容

写像 $f: A \to B$ と、$A$ の部分集合族 $(P_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ が与えられたとき、包含関係

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$

が正しいかどうかを予想し、それを証明する。

2. 解き方の手順

まず、包含関係 $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が正しいことを示す。

そのためには、任意の $y \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ に対して、$y \in f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が成り立つことを示す必要がある。

$y \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ であるとする。

これは、ある $\lambda_0 \in \Lambda$ が存在して、$y \in f(P_{\lambda_0})$ が成り立つことを意味する。

$y \in f(P_{\lambda_0})$ より、ある $x \in P_{\lambda_0}$ が存在して、$f(x) = y$ が成り立つ。

$x \in P_{\lambda_0}$ であるから、$x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda$ である。

したがって、$y = f(x)$ であり、$x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda$ であるから、$y \in f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ である。

よって、$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が成り立つ。

次に、包含関係 $f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ が成り立つかどうかを考える。

これは一般には成り立たない。反例として、$A = \{1, 2\}$, $B = \{3\}$, $f(1) = f(2) = 3$, $\Lambda = \{1, 2\}$, $P_1 = \{1\}$, $P_2 = \{2\}$ とする。

このとき、$f(P_1) = \{3\}$, $f(P_2) = \{3\}$ であるから、$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) = \{3\} \cup \{3\} = \{3\}$ である。

一方、$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda = \{1\} \cup \{2\} = \{1, 2\}$ であるから、$f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda) = f(\{1, 2\}) = \{3\}$ である。

この例では、$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) = f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ が成り立っている。

しかし、一般には $f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ は成り立たない。

もし、$f$ が単射であれば、これが成り立つ。

3. 最終的な答え

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda) \subset f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda)$ は常に成り立つ。

$f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(P_\lambda)$ は一般には成り立たない。