加法定理を用いて、(1) $\tan 165^\circ$ と (2) $\cos \frac{5}{12}\pi$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、(1) $\tan 165^\circ$ と (2) $\cos \frac{5}{12}\pi$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\tan 165^\circ$ について

$\tan 165^\circ = \tan(120^\circ + 45^\circ)$ と考え、加法定理 $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ を用います。

$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$、$\tan 45^\circ = 1$ なので、

$\tan 165^\circ = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})(1)} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 - \sqrt{3}$ をかけます。

$\tan 165^\circ = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}$

(2) $\cos \frac{5}{12}\pi$ について

$\frac{5}{12}\pi = \frac{2}{12}\pi + \frac{3}{12}\pi = \frac{1}{6}\pi + \frac{1}{4}\pi = 30^\circ + 45^\circ$ と考えます。

$\cos \frac{5}{12}\pi = \cos(30^\circ + 45^\circ)$ となり、加法定理 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用います。

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\cos \frac{5}{12}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan 165^\circ = -2 + \sqrt{3}$

(2) $\cos \frac{5}{12}\pi = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$