与えられた等式 $(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$ を、 $n$ が正の整数の場合に証明せよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$ を、 $n$ が正の整数の場合に証明せよ。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を利用する。ド・モアブルの定理は $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$ である。

与えられた等式を$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$と書き換える。

$\cos (-\theta) = \cos \theta$ かつ $\sin (-\theta) = -\sin \theta$ を利用する。

与えられた式は、

$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))^n$ と書き換えられる。

ド・モアブルの定理から、$(\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))^n = \cos (-n\theta) + i \sin (-n\theta)$ が成り立つ。

$\cos (-n\theta) = \cos (n\theta)$ かつ $\sin (-n\theta) = -\sin (n\theta)$ であるから、$\cos (-n\theta) + i \sin (-n\theta) = \cos n\theta - i \sin n\theta$ が得られる。

したがって、$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$ が証明された。

3. 最終的な答え

$(\cos \theta - i \sin \theta)^n = \cos n\theta - i \sin n\theta$