$x > 0$, $y > 0$ のとき、不等式 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

$x > 0$, $y > 0$ のとき、不等式 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を用いる。$a > 0$, $b > 0$ のとき、

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

が成り立ち、等号成立は $a=b$ のときである。

ここで、$a = \frac{x}{y}$, $b = \frac{y}{x}$ とおくと、$x>0$, $y>0$ より $a>0$, $b>0$ である。

相加平均と相乗平均の関係から

$$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \ge \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}}$$

$$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \ge \sqrt{1}$$

$$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \ge 1$$

$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$$

したがって、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$ が証明された。

等号が成り立つのは $\frac{x}{y} = \frac{y}{x}$ のときである。

$\frac{x}{y} = \frac{y}{x}$ を変形すると $x^2 = y^2$ となる。

$x > 0$, $y > 0$ より、 $x = y$ である。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $x = y$ のとき。