与えられた数式を計算します。数式は $6\sqrt{4+2\sqrt{7}}-16$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算します。数式は $6\sqrt{4+2\sqrt{7}}-16$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4+2\sqrt{7}}$ の部分を簡単にすることを考えます。

$\sqrt{4+2\sqrt{7}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ と仮定すると、

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 4+2\sqrt{7}$ となります。

したがって、$a+b = 4$ かつ $ab = 7$ を満たす $a, b$ を見つけます。

$a$ と $b$ は $x^2 - 4x + 7 = 0$ の解になります。この二次方程式の判別式は $4^2 - 4\times7 = 16-28 = -12 < 0$ となり、実数解を持ちません。

問題文に誤りがある可能性があります。

$4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2$ となれば、計算できます。

ここでは、$4+2\sqrt{3}$のパターンを仮定して、$6\sqrt{4+2\sqrt{3}}-16$を計算します。

$6\sqrt{4+2\sqrt{3}}-16 = 6\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}-16 = 6(\sqrt{3}+1)-16 = 6\sqrt{3}+6-16 = 6\sqrt{3}-10$.

元の問題に戻り、$4+2\sqrt{7}$を二重根号を外せる形に変形できないか検討します。

もし、$4+2\sqrt{7}$が$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$の形に変形できると仮定すると、$x+y=4$かつ$xy=7$となるような実数$x, y$が存在しなければなりません。しかし、$x$と$y$を解とする二次方程式は$t^2-4t+7=0$となり、この二次方程式は実数解を持ちません。したがって、与えられた式はこれ以上簡単にすることができません。

しかし、$\sqrt{4+2\sqrt{7}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$と仮定すると、$4+2\sqrt{7} = x+y+2\sqrt{xy}$より、$x+y=4$、$xy=7$を満たす$x, y$を求めることになります。$x, y$を解とする二次方程式は、$t^2-4t+7=0$となり、これは実数解を持たないため、二重根号を外すことはできません。

元の数式に立ち返ると、$6\sqrt{4+2\sqrt{7}}-16$となります。

これは、近似値を計算する必要があります。

$\sqrt{7} \approx 2.646$

$4+2\sqrt{7} \approx 4+2(2.646) = 4+5.292 = 9.292$

$\sqrt{9.292} \approx 3.048$

$6\sqrt{4+2\sqrt{7}} \approx 6(3.048) = 18.288$

$6\sqrt{4+2\sqrt{7}}-16 \approx 18.288 - 16 = 2.288$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{4+2\sqrt{7}}-16$ （これ以上簡単にできません。）近似値は $2.288$です。

ただし、もし問題が $6\sqrt{4+2\sqrt{3}}-16$ であれば、$6\sqrt{3}-10$ となります。