$ \frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5} $ のとき、$ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} $ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件より、

$$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5} = k$$

とおく。すると、

\begin{align} \label{eq:1} x+y &= 3k \\ y+z &= 4k \\ z+x &= 5k \end{align}

これらの式をすべて足し合わせると、

$$2(x+y+z) = 12k$$

$$x+y+z = 6k$$

この式から (\ref{eq:1}) の各辺を引くと、

\begin{align} z &= 3k \\ x &= 2k \\ y &= k \end{align}

これらを $\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ に代入すると、

\begin{align} \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} &= \frac{(2k)(k)+(k)(3k)+(3k)(2k)}{(2k)^2+k^2+(3k)^2} \\ &= \frac{2k^2+3k^2+6k^2}{4k^2+k^2+9k^2} \\ &= \frac{11k^2}{14k^2} \\ &= \frac{11}{14} \end{align}

3. 最終的な答え

$\frac{11}{14}$