2次方程式 $2x^2 - 2ax + (-a^2 + 3) = 0$ の解の種類を判別せよ。ここで、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 2ax + (-a^2 + 3) = 0$ の解の種類を判別せよ。ここで、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

2次方程式の解の種類は、判別式 $D$ の符号によって決まります。

$D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ

$D = 0$ のとき、重解（ただ1つの実数解）を持つ

$D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ

与えられた2次方程式 $2x^2 - 2ax + (-a^2 + 3) = 0$ において、$a = 2$, $b = -2a$, $c = -a^2 + 3$ となります。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算できます。

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a^2 + 3)$

$D = 4a^2 - 8(-a^2 + 3)$

$D = 4a^2 + 8a^2 - 24$

$D = 12a^2 - 24$

$D = 12(a^2 - 2)$

解の種類を判別するために、$D$ の符号を調べます。

$D > 0$ のとき、$12(a^2 - 2) > 0$ より、$a^2 - 2 > 0$ つまり、$a^2 > 2$。これは、$a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ を意味します。

$D = 0$ のとき、$12(a^2 - 2) = 0$ より、$a^2 - 2 = 0$ つまり、$a^2 = 2$。これは、$a = \pm \sqrt{2}$ を意味します。

$D < 0$ のとき、$12(a^2 - 2) < 0$ より、$a^2 - 2 < 0$ つまり、$a^2 < 2$。これは、$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ を意味します。

したがって、

$a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$a = \pm \sqrt{2}$ のとき、重解を持つ。

$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

- $a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

- $a = \pm \sqrt{2}$ のとき、重解を持つ。

- $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。