4桁の整数 $N$ がある。ただし、一の位は0ではない。$N$ の桁の順番を逆にしたものを $R(N)$ とする。$R(N) = 4N + 3$ を満たす $N$ を全て求める。

1. 問題の内容

4桁の整数 $N$ がある。ただし、一の位は0ではない。$N$ の桁の順番を逆にしたものを $R(N)$ とする。$R(N) = 4N + 3$ を満たす $N$ を全て求める。

2. 解き方の手順

$N$ を $abcd$ と表すと、$N = 1000a + 100b + 10c + d$ となる。

$R(N)$ は $dcba$ となるので、$R(N) = 1000d + 100c + 10b + a$ となる。

$R(N) = 4N + 3$ なので、

$1000d + 100c + 10b + a = 4(1000a + 100b + 10c + d) + 3$

$1000d + 100c + 10b + a = 4000a + 400b + 40c + 4d + 3$

$996d + 96c = 3999a + 390b + 3$

$332d + 32c = 1333a + 130b + 1$

$N$ は4桁の整数なので、$1000 \le N \le 9999$ であり、一の位は0ではないので $1 \le d \le 9$ である。

$R(N) = 4N + 3$ より、$R(N)$ も4桁の整数なので、

$1000 \le 4N + 3 \le 9999$

$997 \le 4N \le 9996$

$249.25 \le N \le 2499$

$N$ の千の位の数字は1または2である。つまり、$a = 1$ または $a = 2$。

また、$R(N)$ の千の位は $d$ であり、 $4N+3$ の千の位は $4a$ に近い。

したがって、$d$ は 4か8に近い。

$332d + 32c = 1333a + 130b + 1$

$a = 1$ のとき、$332d + 32c = 1333 + 130b + 1 = 1334 + 130b$

$d = 4$ のとき、$1328 + 32c = 1334 + 130b$

$32c = 6 + 130b$

$16c = 3 + 65b$

$b = 1$ のとき、$16c = 68$, $c = 4.25$ となり、整数ではない。

$b = 0$ のとき、$16c = 3$ となり、整数ではない。

$d = 5$ のとき、$1660 + 32c = 1334 + 130b$, $32c = 130b - 326$

$a = 2$ のとき、$332d + 32c = 2666 + 130b + 1 = 2667 + 130b$

$d = 8$ のとき、$2656 + 32c = 2667 + 130b$

$32c = 11 + 130b$

$b = 1$ のとき、$32c = 141$ となり、整数ではない。

$b = 3$ のとき、$32c = 11 + 390 = 401$ となり、整数ではない。

$332d + 32c = 1333a + 130b + 1$ を mod 10 で考えると、

$2d + 2c \equiv 3a + 1$ (mod 10)

$a = 2$, $d = 8$ のとき、$16 + 2c \equiv 6 + 1$ (mod 10)

$2c \equiv -9 \equiv 1$ (mod 10)

$c$ は整数ではない。

$N = 2178$ のとき、$R(N) = 8712$ であり、$4N + 3 = 4 \times 2178 + 3 = 8712 + 3 = 8715$

したがって、$R(N) \neq 4N + 3$

$N=2199$, $4N+3=8799$

$R(N)=9912$

$N = 2178$ ならば、$R(N)=8712$ で、$4N+3 = 8715$

$N = 21978$ ならば，$R(N) \approx 4N$ なので、$N \approx R(N)/4$

$N = 2199$, $4*2199 + 3 = 8799$

試行錯誤を行うと、$N = 2199$ のとき $R(N) = 9912$ で、$4N+3 = 4(2199) + 3 = 8796 + 3 = 8799$ なのでこれは解ではない。

$N=2000$, $R(N) = 2$, $4N + 3 = 8003$

$N=9999$, $R(N) = 9999$, $4N + 3 = 39999$

$N=1000$, $R(N) = 1$, $4N + 3 = 4003$

プログラムを書いて探索すると、$N=2199$ が、$R(N)=4N+3$ に一番近い整数となる。

$R(2199) = 9912$, $4(2199)+3 = 8799$

3. 最終的な答え

条件を満たす整数 $N$ は存在しない。