$\sqrt{7}$ が有理数でないことを背理法で証明する。$\sqrt{7}$ が有理数であると仮定し、$\sqrt{7} = \frac{q}{p}$ （$p$, $q$ は互いに素な正の整数）と表せる。このとき、$7p^2 = q^2$ となる。空欄を埋めて矛盾を導き、$\sqrt{7}$ が有理数でないことを示す。

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ が有理数でないことを背理法で証明する。$\sqrt{7}$ が有理数であると仮定し、$\sqrt{7} = \frac{q}{p}$ （$p$, $q$ は互いに素な正の整数）と表せる。このとき、$7p^2 = q^2$ となる。空欄を埋めて矛盾を導き、$\sqrt{7}$ が有理数でないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $7p^2 = q^2$ より、$q^2$ は 7 の倍数である。したがって、$q$ も 7 の倍数である。

(2) $q = 7s + t$ とおく ($s$ は0以上の整数、$t$ は 0以上 7 未満の整数)。

(3) $q^2 = (7s + t)^2 = 49s^2 + 14st + t^2$

(4) $q^2$ が 7 の倍数であるためには、$t^2$ が 7 の倍数でなければならない。$0 \leq t < 7$ なので、$t = 0$ でなければならない。

(5) $t = 0$ より、$q = 7s$ となる。

(6) $q = 7s$ を $7p^2 = q^2$ に代入すると、$7p^2 = (7s)^2 = 49s^2$。したがって、$p^2 = 7s^2$。

(7) よって、$p^2$ は 7 の倍数なので、$p$ も 7 の倍数となる。

(8) $p$ と $q$ がともに 7 の倍数となるのは、$p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{7}$ は有理数ではない。

空欄を埋める。

- $q^2$は 7 の倍数。

- $q = 7s + t$

- $t$ は 7 未満。

- $q^2 = 49s^2 + 14st + t^2$

- $t = 0$

- $q = 7s$

- $p^2 = 7s^2$

- $p$ は 7 の倍数

3. 最終的な答え

1. 7

2. 7

3. 49

4. 14

5. 0

6. 0

7. 0

8. 7

9. 7

1

0. 7